2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）

数 学(理)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷 选择题 (共40分)

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

参考公式：

·如果事件
、
互斥，那么

柱体的体积公式
. 其中
表示柱体的底面积,
表示柱体的高.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.
是虚数单位，复数
= （ ）

A．
B.
C.
D.

2.“
成等差数列”是“
”成立的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3.阅读右面的程序框图，则输出的
= （ ）

A．14 B．30 C．20 D．55

4.设函数
，则函数
（ ）

A．在区间
内均有零点

B．在区间
内均无零点

C．在区间
内有零点，在区间
内无零点

D．在区间
内无零点，在区间
内有零点

5.在
的二项展开式中，
的系数为（ ）

A．-120 B．120 C．-15 D．15

6.在钝角△ABC中，已知AB=
， AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.己知抛物线方程为
（
），焦点为
，
是坐标原点，
是抛物线上的一点，
与
轴正方向的夹角为60°，若
的面积为
，则
的值为（ ）

A．2 B．
C．2或
D．2或

8．已知函数

数列
满足
，且
是单调递增数列，则实数
的取值范围是（ ）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.

9.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．:高&考%资(源#网]

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

11. 已知圆
的参数方程为

为参数), 以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
, 则直线截圆
所得的弦长是 .

12．如图，
是⊙
的直径，
是⊙
的切线，

与
的延长线交于点
，
为切点．若
，

，则
的长为 .

13.若不等式
对一切非零实数
均成立,记实数
的取值范围为
.已知集合
，集合
，则集合
.

14.已知点
为等边三角形
的中心,
,直线
过点
交线段
于点
，交线段
于点
，则
的最大值为 .

三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

设函数
的最小正周期为
．

（Ⅰ）求
的值； （Ⅱ）求
在区间
上的值域；

（Ⅲ）若函数
的图像是由
的图像向右平移
个单位长度得到，

求
的单调增区间．

16．（本小题满分13分）

在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是
．

（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；

（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率.

17．（本小题满分13分）

如图，四棱柱
的底面
是平行四边形，且
，
，
，
为
的中点，
平面
．

（Ⅰ）证明：平面
平面
；

（Ⅱ）若
，试求异面直线
与

所成角的余弦值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角
的余弦值.

18．（本小题满分13分）

设等比数列
的前
项和为
，已知
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）在
与
之间插入
个数，使这
个数组成公差为
的等差数列，

设数列
的前
项和
，证明：
.

19．（本小题满分14分）

已知中心在坐标原点，焦点在
轴上的椭圆过点
，且它的离心率
.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）与圆
相切的直线

交椭圆于
两点，若椭圆上一点
满足

，求实数
的取值范围.

20．（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）若
为
的极值点，求实数
的值；

（Ⅱ）若
在
上为增函数，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)当
时，方程
有实根，求实数
的最大值.

2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）

数学理科参考答案

一、选择题:每小题5分，满分40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

B

D

C

B

A

C



二、填空题: 每小题5分，共30分.

9．25 [来源；10．
； 11．
； 12．
； 13．
； 14．

三、解答题

15．（本小题满分13分）

设函数
的最小正周期为
．

（Ⅰ）求
的值； （Ⅱ）求
在区间
上的值域；

（Ⅲ）若函数
的图像是由
的图像向右平移
个单位长度得到，

求
的单调增区间．

解： （Ⅰ）

…………2分

…………4分

依题意得
，故
的值为
. …………5分

（Ⅱ）因为
所以
， …………6分

…………8分

，即
的值域为
…………9分

（Ⅲ）依题意得:
…11分

由
…………12分

解得

故
的单调增区间为:
…………13分

16．（本小题满分13分）

在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是
．

（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；

（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；

解：（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.

依条件可知X～B(6，
).

(
)

X的分布列为：

X

0

1

2

3

4

5

6



P

















（注：每个概率1分，列表1分,共8分，没有过程只列表扣3分）………8分

=
.

或因为X～B(6，
)，所以
. 即X的数学期望为4． ………9分

（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，

则
…………12分

（每个概率计算正确一分，共三分；列一个大式子，若计算错误则无分）

答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为
……………………………13分

17．（本小题满分13分）

如图，四棱柱
的底面
是平行四边形，且
，
，
，
为
的中点，
平面
．

（Ⅰ）证明：平面
平面
；

（Ⅱ）若
，试求异面直线
与

所成角的余弦值．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角
的余弦值.

17.解（Ⅰ）依题意，

所以
是正三角形，
……1分

又
……2分

所以
，
……3分

因为
平面
，
平面
，所以

因为
，所以
平面
……4分

因为
平面
，所以平面
平面
……5分

（Ⅱ）取
的中点
，连接
、
，连接
，则

所以
是异面直线
与
所成的角 ……7分

因为
，
，

所以
，
，
……8分

所以
……9分

（Ⅰ）（Ⅱ）解法2：以
为原点，过
且垂直于
的直线为
轴，
所在直线为
轴、
所在直线为
建立右手系空间直角坐标系 ……1分

设
（
），

则


……2分

（Ⅰ）设平面
的一个法向量为
，

则

，取
，则
，从而
， ……3分

同理可得平面
的一个法向量为
， ……4分

直接计算知
，所以平面
平面
……5分

（Ⅱ）由
即

解得

，
……7分

所以异面直线
与
所成角的余弦值