哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学

2013年高三第一次联合模拟考试

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用o．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x<5}，则集合（CuA）
B= （ ）

A．{x|0

C．{x|0≤x<2} D．{x| 0≤x≤2}

2．命题“若x>1，则x>0”的否命题是 （ ）

A．若x>l，则x≤0 B．若x≤l，则x>0

C．若x≤1，则x≤0 D．若x

3．在复平面内复数z=
对应的点在 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．已知数列{an}是等差数列，且a1+a4+a7= 2
，则tan( a3+a5)的值为 ( )

A．
B．-
C．
D．-

5．与椭圆C：
=l共焦点且过点（1，
）的双曲线的标准方程为 （ ）

A．x2一
=1 B．y2—2x2=1 C．
一
=1 D．
一x2 =1

6．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少1名教师，则不同的分配方案种数为

( )

A．12 B．36 C．72 D．108

7．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是（ ）

A．5

B．6

C．7

D．8

8．若
的展开式中第四项为常数项，则n=( )

A．4 B．5

C．6 D．7

9．已知函数y=Asin（
）+k的最大值为4，最小值为0，最小正周期为
，直线x=
是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（ ）

A．y= 4sin（4x+
） B．y =2sin（2x+
）+2

C．y= 2sin（4x+
）+2 D．y=2sin（
+
）+2

10．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=
，AC =2，若四面体ABCD体积的最大值为
，则这个球的表面积为 （ ）

A．
B．8
C．
D．

11．若点P在抛物线y2= 4x上，则点P到点A（2，3）的距离与点P到抛物线焦点的距离之差（ ）

A．有最小值，但无最大值 B．有最大值，但无最小值

C．既无最小值，又无最大值 D．既有最小值，又有最大值

12．已知f（x）=
，f（x）在x=xO处取最大值，以下各式正确的序号为 ( )

①f（xo）xo ④f（xo）<
⑤f（xo）>

A．①④ B．②④ C．②⑤ D．③⑤

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设x、y满足约束条件
，则目标函数z=2x+y的最大值为 。

14．已知
={(x，y) | x|≤1，|y|≤l}，A是曲线y=x2与y=x
围成的区域，若向区域
上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为 。

15．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆直径为2，则该几何体的体积为 。

16．在△ABC中，2sin2
=
sinA，sin（B－C）=2cosBsinC，则
的值为 。

三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知等比数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+（－l）n（n∈N*）。

（I）求数列{an}的前三项a1，a2，a3；

(Ⅱ)求证：数列{
}为等比数列，并求出{an}的通项公式

18．（本小题满分12分）

PM2．5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。根据现行国家标准GB3095－2012，PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标。

从某自然保护区2012年全年每天的PM2．5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

PM2.5日均值

(微克/立方米)















频数

3

1

1

1

1

3



 （I）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的

概率；

(Ⅱ)从这10天的数据中任取三天数据，记
表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求
的分布

列；

(Ⅲ)以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按366天计算）中平均有

多少天的空气质量达到一级或二级．（精确到整数）

19．（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90o，E是棱CC1上动点，F是AB中点，AC=1,BC=2，AAl=4。

（I）当E是棱CC1中点时，求证：CF//平面AEB1；

(Ⅱ)在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A－EBl－B的余弦值是
，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知点E（m，0）（m>0）为抛物线y2=4x内一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点。

（I）若m=l，klk2 =-1，求三角形EMN面积的最小值；

（Ⅱ）若k1 +k2=1，求证：直线MN过定点。

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=axsinx+ cosx，且f(x）在
处的切线斜率为
．

( I)求a的值，并讨论f (x)在[
]上的单调性；

(Ⅱ)设函数g（x）= 1n（mx+1）+
≥0，其中m>0，若对任意的x1∈[0,+∞）总存在
，使得g（x1）≥f(x2）成立，求m的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M。

（I）求证：MD=ME;

（Ⅱ）设圆O的半径为1，MD=
，求MA及CE的长。

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是
为参数）和
为参数）。以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（I）求圆Cl和C2的极坐标方程；

（Ⅱ）射线OM：
与圆Cl的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|·|OQ|的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数f（x）=|x－a| +2x，其中a>0．

（I）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；

（Ⅱ）若
（-2，+∞）时，恒有f（x）>0，求a的取值范围．

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

CCBAC BBBDC DB

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.14 14.
15.
16.

三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）在
中分别令
得：

解得：
……3分

（Ⅱ）由
得：
高考资源网

两式相减得：
……6分

高考资源网

……9分

故数列
是以
为首项，公比为2的等比数列．高考资源网 所以

……12分

18.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）记“从10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件
， ……1分

. ……4分

（Ⅱ）依据条件，
服从超几何分布：其中
，
的可能值为
，其分布列为：
……6分























 ……8分

（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为
，

一年中空气质量达到一级或二级的天数为
，则
~
……10分

，

一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级 .…12分

19.（本题满分12分）

解：（1）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG

F、G分别是棱AB、AB1中点，

又
FG∥EC，
， FG＝EC　

四边形FGEC是平行四边形，

……4分

CF
平面AEB1，
平面AEB1

平面AEB. ……6分

（2）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为
轴正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系

则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，4）

设

，平面AEB1的法向量
.

则
,

由
，

得

……8分

平面

是平面EBB1的法向量,则平面EBB1的法向量

……10分

二面角A—EB1—B的平面角余弦值为
，

则

解得

在棱CC1上存在点E，符合题意，此时
……12分

20.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）当
时，E为抛物线
的焦点，

∵
，∴AB⊥CD

设AB方程为
，

由
，得
，

AB中点
，∴
，同理，点
……2分

∴
……4分

当且仅当
，即
时，△EMN的面积取最小值4． ……6分

（Ⅱ）证明：设AB方程为
，

由
，得
，

AB中点
，∴
，同理，点
……8分

∴
……10分

∴MN：
，即

∴直线MN恒过定点
． ……12分

21.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）
……2分

……4分

则
在
上单调递增；
在
上单调递减；……6分

（Ⅱ）当
时，
单调递增，

则依题
在
上恒成立

……8分

①当
时，
，
在
上恒成立，即
在
上单调递增，又
，所以
在
上恒成立，即
时成立 ……10分

②当
时，当
时，
，此时
单调递减，