2013年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）

数 学（文）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题，共40分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

个是正确的）

1.
是虚数单位，复数
=

A.
B.
C.
D.

2.实数
，
满足条件
，则目标函数
的最大值为

A．7 B．8 C．10 D．11

3.“
成等差数列”是“
”成立的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.阅读右面的程序框图，则输出的
=

A．14 B．30 C．20 D．55

5.设
，
，
，则它们的大小关系是

A.
B.
C.
D.

6.将函数y=cos(x－
)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移
个单位，则所得函数图像对应的解析式是

A.
B.
C.
D.
7.已知函数
，若对于任意
，都有
成立，则
的取值范围是

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ.

8.已知函数

.若数列
满足
且

，则实数
的取值范围是

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.

9.已知集合
，集合
，则集合
.

10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

11.如图，
是⊙
的直径，
是⊙
的切线，
为切点，
与
的延长线交于点
．若
，
，则
的长为 .

12.已知双曲线
的离心率
，它的一条渐近线与抛物线
的准线交点的纵坐标为
，则正数
的值为 .

13.已知函数
，若
，则实数
的取值范围是 .

14.已知点
为等边三角形
的中心,
,直线
过点
交边
于点
，交边
于

点
，则
的最大值为 .

三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：
，
，…，
后得到如图的频率分布直方图．

（Ⅰ）求图中实数
的值；

（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高

一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数；

(Ⅲ)若从样本中数学成绩在
与
两个

分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举

法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大

于10的概率.

16．（本小题满分13分）

已知函数

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）在
中，若
,
，
，求
的值.

17.(本小题满分13分）

已知在四棱锥
中，
,
,
，
分别是
的中点.

(Ⅰ)求证
；

(Ⅱ)求证
；

(Ⅲ)若
，求二面角
的大小.

18．（本小题满分13分）

已知数列
的首项为
，对任意的
，定义
.

（Ⅰ） 若
，

(i)求
的值和数列
的通项公式；

(ii)求数列
的前
项和
；

（Ⅱ）若
，且
，求数列
的前
项的和.

19．（本小题满分14分）

已知函数
，
（其中
实数,
是自然对数的底数）．

（Ⅰ）当
时，求函数
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求
在区间
上的最小值；

(Ⅲ) 若存在
，使方程
成立，求实数
的取值范围.

20．（本小题满分14分）

已知中心在坐标原点，焦点在
轴上的椭圆过点
，且它的离心率
.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）与圆
相切的直线
交椭圆于
两点，若椭圆上一点
满足
，求实数
的取值范围.

2013年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）

数学试卷（文科） 评分标准

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

C

A

B

D

D

A

C



二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．
；10．
； 11．
； 12．
；13．
；14．

三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：
，
，…，
后得到如图的频率分布直方图．

（Ⅰ）求图中实数
的值；

（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．

(Ⅲ)若从样本中数学成绩在
与
两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率；

15．解：（Ⅰ）由

可得
…………2分

（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为:

……4分

数学成绩不低于60分的人数为

人 ……5分

(Ⅲ)数学成绩在
的学生人数：

人 ……6分

数学成绩在
的学生人数：

人 ……7分

设数学成绩在
的学生为
，

数学成绩在
的学生为
…………8分

两名学生的结果为：
，

…………10分

共
种； …………11分

其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有
，
，
，
，
，
，
共7种， …………12分

因此，抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为
…………13分

16．（本小题满分13分）已知函数

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）在
中，若
,
，
，求
的值.

16．解：（Ⅰ）
…………2分

…………4分

………………5分

由
得，
(
).，……7分

故
的单调递增区间为
(
). ………………8分

（Ⅱ）
,则


…………9分

…………10分

又
………………………11分

…………12分

… ……………………13分

17．(本小题满分13分）已知在四棱锥
中，

,
,
，

分别是
的中点，

(Ⅰ)求证
；

(Ⅱ) 证明
；

(Ⅲ)若
，求二面角
的大小.

17．(Ⅰ) 证明:由已知得
，

故
是平行四边形，所以
，---------1分

因为
，所以
, ---------2分

由
及
是
的中点，得
, ---------3分

又因为
,所以
. ---------4分

(Ⅱ) 证明:连接
交
于
,再连接
,

由
是
的中点及
，知
是
的中点，

又
是
的中点，故
， ---------5分

又因为
，

所以
. ---------7分

(Ⅲ)解：设

,

则
，又
，
，

故
即
， ---------8分

又因为
，
，

所以
，得
，故
， ---------10分

取
中点
，连接
,可知
,因此
, ---------11分

综上可知
为二面角
的平面角. ---------12分

可知
，

故
,所以二面角
等于
. ---------13分

18．（本小题满分13分）已知数列
的首项为
，对任意的
，定义
.

（Ⅰ） 若
，

(i)求
的值和数列
的通项公式；

(ii)求数列
的前
项和
；

（Ⅱ）若
，且
，求数列
的前
项的和.

18．(Ⅰ) 解：(i)
,
,
………………2分

.由
得

当
时，

=