哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学

2013年高三第一次联合模拟考试

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用o．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x<5}，则集合（CuA）
B= （ ）

A．{x|0

C．{x|0≤x<2} D．{x| 0≤x≤2}

2．命题“若x>1，则x>0”的否命题是 （ ）

A．若x>l，则x≤0 B．若x≤l，则x>0

C．若x≤1，则x≤0 D．若x

3．在复平面内复数z=
对应的点在 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．函数f（x）=ax－1（a>0，a≠1）的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是 （ ）

A．y=
B．y=|x－2| C．y=2x－1 D．y=log2（2x）

5．与椭圆C：
=l共焦点且过点（1，
）的双曲线的标准方程为 （ ）

A．x2一
=1 B．y2—2x2=1 C．
一
=1 D．
一x2 =1

6．已知向量a，b是夹角为60o的两个单位向量，向量a+
b（
∈R）与向量a－2b垂直，则实数

的值为 （ ）

A．1 B．-1 C．2 D．0

7．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是（ ）

A．5

B．6

C．7

D．8

8．已知函数y=sin（
）的最小正周期为
，直线x=
是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的函数解析式为（ ）

A．y= sin（4x十
） B．y =sin（2x+
）

C．y= sin（4x—
） D．y=sin（{
+
）

9．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=
，AC =2，若四面体ABCD体积的最大值为
，则这个球的表面积为 （ ）

A．
B．8
C．
D．

10．已知函数f（x）=
+l，g（x）=alnx，若在
处函数f（x）与g（x）的图象的切线平行，则实数a的值为 （ ）

A．
B．
C．1 D．4

11．若点P在抛物线y2= 4x上，则点P到点A（2，3）的距离与点P到抛物线焦点的距离之差（ ）

A．有最小值，但无最大值 B．有最大值，但无最小值

C．既无最小值，又无最大值 D．既有最小值，又有最大值

12．已知函数f（x）=
若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是 （ ）

A．（-∞，0） B．（-∞，0）
（0，1）

C．（0,1） D．（0,1）
（1,+∞）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设x、y满足约束条件
，则目标函数z=2x+y的最大值为 。

14．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆直径为2，则该几何体的体积为 。

15．已知函数f（x）=ln
，若f（a）+f（b）=0，且0

16．在△ABC中，2sin2
=
sinA，sin（B－C）=2cosBsinC，则
的值为 。

三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1=1，且a4，3a3，a5成等差数列。

（I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）数列{an+1－
an}的前n项和为Sn，若Sn=2n－l（n∈N*），求实数
的值。

18．（本小题满分12分）

PM2．5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可人肺颗粒物。根据现行国家标准GB3095－2012，PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标。

从某自然保护区2012年全年每天的PM2．5监测值数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）：

（I）求空气质量为超标的数据的平均数与方差；

（Ⅱ）从空气质量为二级的数据中任取2个，求这2个数据的和小于100的概率；

（Ⅲ）以这12天的PM2．5日均值来估计2012年的空气质量情况，估计2012年（366天）大约有多少天的空气质量达到一级或二级。

19．（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90o，E是棱CC1中点，F是AB中点，AC=BC=1，AAl=2。

（I）求证：CF//平面AB1E；

（Ⅱ）求三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高。

20．（本小题满分12分）

已知点E（m，0）（m>0）为抛物线y2=4x内一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点。

（I）若m=l，klk2 =-1，求三角形EMN面积的最小值；

（Ⅱ）若k1 +k2=1，求证：直线MN过定点。

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=
x2一
ax3（a>0），函数g（x）=f（x）+ex（x一1），函数g（x）的导函数为
（x）。

（I）求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若a=e，

（i）求函数g（x）的单调区间；

（ii）求证：x>0时，不等式
（x）≥l+1nx恒成立。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M。

（I）求证：MD=ME;

（Ⅱ）设圆O的半径为1，MD=
，求MA及CE的长。

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是
为参数）和
为参数）。以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（I）求圆Cl和C2的极坐标方程；

（Ⅱ）射线OM：
与圆Cl的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|·|OQ|的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数f（x）=|x－a| +2x，其中a>0．

（I）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；

（Ⅱ）若
（-2，+∞）时，恒有f（x）>0，求a的取值范围．

参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

　1．C　　　2．C　　　3．B　　　4．A　　　5．C　　　6．D

　7．B　　　8．A　　　9．C　　　10．A　　11．D　　　12．B

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.
　　　14.
　　　15.
　　　16.

三、解答题

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设数列
的公比为
，由条件，
成等差数列，
……2分

解解得

，
　　　 ……4分

网数列
的通项公式为
　　　 ……6分

（Ⅱ）记
,则
……7分

若
不符合条件； ……8分

若
， 则
，数列
为等比数列，首项为
，公比为2

此时
……10分

　　　……12分

18.（本小题满分12分）

解：（I）空气质量为超标的数据有四个：77，79，84，88

平均数为
……2分

方差为
……4分

（II）空气质量为二级的数据有五个：47，50，53，57，68

任取两个有十种可能结果：｛47，50｝，｛47，53｝，｛47，57｝，｛47，68｝，｛50，53｝，｛50，57｝，｛50，68｝，｛53，57｝，｛53，68｝，｛57，68｝，

两个数据和小于100的结果有一种：｛47，50｝

记“两个数据和小于100”为事件A，则P(A)=

即从空气质量为二级的数据中任取2个，这2个数据和小于100的概率为
……8分

（III）空气质量为一级或二级的数据共8个，所以空气质量为一级或二级的频率为
……10分

，所以，2012年的366天中空气质量达到一级或二级的天数估计为244天． ……12分

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG，

F、G分别是AB、AB1中点，

为侧棱
的中点，
FG∥EC，FG＝EC，　

所以四边形FGEC是平行四边形 ……4分

，
CF
平面AB1E，
平面AB1E
平面AB1E. ……6分

（Ⅱ）
三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱
，
面ABC.

又
AC
平面ABC，
， 　
∠ACB＝90°,
，

平面EB1C,

　 ……8分

　　　

……10分

三棱锥
的高为

……12分

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当
时，E为抛物线
的焦点，

∵
，∴AB⊥CD

设AB方程为
，

由
，得
，

AB中点
，∴
，同理，点

……2分

∴

……4分

当且仅当
，即
时，△EMN的面积取最小值4． ……6分

（Ⅱ）证明：设AB方程为
，

由
，得
，

AB中点
，∴
，同理，点
……8分

∴
……10分

∴MN：
，即

∴直线MN恒过定点
．……12分

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

上，
；
上
；
上
……2分

的极小值为
；函数
的极大值为
……4分

（Ⅱ）

，

（ⅰ）记
，

上，
，
是减函数；
上，
，
是增函数，

， ……6分

则在
上，
；在
上，
，

故函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是
……8分

（ⅱ）
时，

由（ⅰ）知，

记
，则
，

在区间
上，
，
是增函数；在区间
上，
，
是减函数，

，
……10分

，即
成立。 ……12分

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

（Ⅰ）证明：

　　　　……5分

（Ⅱ）解：由（1）

在
中，
,

　　　　　　……10分

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）圆
和
的的普通方程分别是
和
，

所以圆
和
的的极坐标方程分别是
和
. ……5分

（Ⅱ）依题意得，点
的极坐标分别为
和

所以
，
.

从而
（
时即可取等）.

即
的最大值是
. 　　 ……10分

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（1）
时，

或
，

解集为
……5分

（2）

上
，
上

若
，当且仅当
时