一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、下列命题中，真命题是

（A）
,
（B）
,

（C）
（D）

2、将容量为
的样本中的数据分成
组，若第一组至第六组数据的频率之比为
，且前三组数据的频数之和等于
，则
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

3、
的展开式中的常数项为

（A）
（B）
（C）
（D）

4、若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为

（A）
（B）
（C）
（D）

5、若向量
，
满足
，
，且
，则
与
的夹角为

（A）
（B）
（C）
（D）

6、已知
和
是两条不同的直线，
和
是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出

的是

（A）
，且
（B）
∥
，且

（C）
，且
∥
（D）

，且
∥

7、若
是
和
的等比中项，则圆锥曲线
的离心率为

（A）
（B）
（C）
或
（D）
或

8、在整数集
中，被4除所得余数
的所有整数组成一个“类”，记为
，即
，

.给出如下四个结论：①
；②
；③
；④“整数
属于同一‘类’”的充要条件是“
”.其中正确的个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.

(一)必做题(9～13题)

9、设
，且
为正实数，则
的值为 .

10、已知函数
图像上点A处的切线与直线x-y+2=0的夹角为45°,则A点

处的切线方程为________.

11、在平面直角坐标系
中，将点

绕原点
逆时针旋转
到点
，那么点
的坐标为____，若直线
的倾斜角为
，则
的值为 ．

12、等比数列
的首项为
，公比为
，其前
项和为
，则数列
为递增数列的充分必要条件是______.

13、已知函数

的最大值为
，最小值为
，则
的值为__.

(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

14、（几何证明选讲选做题）

如图，
是圆
的直径，
，
,则
;

15、(坐标系与参数方程选做题)

已知直线
方程是

为参数），,以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
，则圆
上的点到直线
的距离最小值是

三、解答题：（本大题6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）

16、已知函数

（1）当
时，求函数
的最小值和最大值；

（2）设
的内角
的对应边分别为
，且
，若向量
与向量
共线，求
的值．

17、某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；

（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试．

（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；

（2）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有
名学生被考官D面试，求
的分布列和数学期望．

18、如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，
，

．（1）证明：AE//平面DCF；

（2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C为
；

（3）在（2）的条件下，求几何体ABE-DCF的体积。

19、已知等差数列
,
中,
,
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若将数列
的项重新组合，得到新数列
，具体方法如下:
，

，
，…,依此类推，

第
项
由相应的
中
项的和组成，求数列
的前
项和
.

20、已知椭圆

的右焦点为
，离心率为
.

（1）若
，求椭圆的方程；

（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，
的中点为M，
的中点为N，若原点
在以线段
为直径的圆上．

①证明点A在定圆上；

②设直线AB的斜率为k，若
，求
的取值范围．

21、已知函数
，a∈R．

（1）若对任意
，都有
恒成立，求a的取值范围；

（2）设
若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y=F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在
轴上，求a的取值范围．

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）B （3）D （4）A （5）C （6）B （7）D （8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）
，

（11）

（12）
且
（13）
14.
15.

16、解:（1）

则
的最小值是
,最大值是
．

（2）
,则
,

,
,

,
,

向量
与向量
共线，

，

由正弦定理得，
　　 ①

由余弦定理得，
，即
　　②

由①②解得
．

17、解：（Ⅰ） 由图可知， 第三组的频率为0．06
5=0．3；

第四组的频率为0．04
5=0．2；

第五组的频率为0．02
5=0．1

（Ⅱ）（1）设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试

P（M）=
=

（2）

0

1

2



P











18、解法一：（1）证明过点E作EG
CF交CF于G，

连结DG，
四边形BCGE是矩形，

又四边形ABCD是矩形，

四边形AEGD是平行四边形，

AE//DG，又
平面DCF，

AE//平面DCF。

证法2：

AE//平面DCF。

（2）
平面ABCD
平面BEFC，AB
BC，

AB
平面BEFC

过点B作BH
FE交FE的延长线于H，连结AH，
AH
FE。

故
是二面角A-EF-C的平面角。

在

又
，

当AB的长为
时，二面角A-EF-C为
。

（3）连结AF，FB，何体ABE-DCF的体积

解法二：如图建立空间坐标系C-xyz，

设

（1）
，

CB
AE，CB
BE，所以CB
平面ABE，CB
平面DCF

所以，平面ABE//平面DCF，故AE//平面DCF。

（2）
，

又

，解得b=3，c=4，

设平面AEF的法向量是n=（1,?y,?z），由
n
, n

解得n

因为BA
平面BEFC，

（3）同解法一

19、解：（Ⅰ）由
与

解得:
或
（由于
，舍去）

设公差为
，则
,解得

所以数列
的通项公式为

（Ⅱ）由题意得:

而
是首项为
,公差为
的等差数列的前
项的和,所以

所以

所以

所以

20、解：（1）由
，c=2，得a=
，b=2．

所求椭圆方程为
．

（2）设
，则
，

故
，
．

① 由题意，得
．

化简，得
，所以点
在以原点为圆心，2为半径的圆上．

② 设
，则




．

将
，
，代入上式整理，得

．

因为
，k2>0，所以
，
．

所以
．化简，得

解之，得
，
.

故离心率的取值范围是
.

21、解：（1）由
，得
．

由于
，
，且等号不能同时取得，所以
．

从而
恒成立，
．

设
．求导，得
．

，
，

从而
，
在
上为增函数．

所以
，所以
．

（2）
设
为曲线
上的任意一点．

假设曲线
上存在一点
，使∠POQ为钝角，

则
．

若t≤-1，
，
，
=
．

由于
恒成立，
．

当t=－1时，
恒成立．

当t<－1时，
恒成立．由于
，所以a≤0.

若
，
，
，
，

则
=
，

对
，
恒成立．

③ 当t≥1时，同①可得a≤0．

综上所述，a的取值范围是
．