一、本大题共10小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、下列命题中，真命题是

（A）
,
（B）
,

（C）
（D）

2、将容量为
的样本中的数据分成
组，若第一组至第六组数据的频率之比为
，且前三组数据的频数之和等于
，则
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

3、若整数
满足
则
的最大值是

（A）
（B）
（C）
（D）

4、若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为

（A）
（B）
（C）
（D）

5、若向量
，
满足
，
，且
，则
与
的夹角为

（A）
（B）
（C）
（D）

6、已知
和
是两条不同的直线，
和
是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出

的是( )

（A）
，且
（B）
∥
，且

（C）
，且
∥
（D）

，且
∥

7、已知
为等差数列，若
，则
的值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8、执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是（ ）

（A）
或
（B）
或
（C）
或
（D）
或

9、若
是
和
的等比中项，则圆锥曲线
的离心率为

（A）
（B）
（C）
或
（D）
或

10、在整数集
中，被4除所得余数
的所有整数组成一个“类”，记为
，即
，

.给出如下四个结论：①
；②
；③
；④“整数
属于同一‘类’”的充要条件是“
”.其中正确的个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分.

(一)必做题(11～13题)

11、设
，且
为正实数，则
的值为 .

12、已知函数
图像上点A处的切线与直线x-y+2=0的夹角为45°,则A点

处的切线方程为________.

13、在平面直角坐标系
中，将点

绕原点
逆时针旋转
到点
，那么点
的坐标为____，若直线
的倾斜角为
，则
的值为 ．

(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

14、（几何证明选讲选做题）

如图，
是圆
的直径，
，
,则
;

15、(坐标系与参数方程选做题)

已知直线
方程是

为参数），,以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
，则圆
上的点到直线
的距离最小值是

三、解答题：（本大题6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）

16、已知函数

（1）当
时，求函数
的最小值和最大值；

（2）设
的内角
的对应边分别为
，且
，若向量
与向量
共线，求
的值．

17、某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；

（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试．

（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；

（2）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有
名学生被考官D面试，求
的分布列和数学期望．

18、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知
是这个几何体的棱
上的中点。

（Ⅰ）求出该几何体的体积；

（Ⅱ）求证：直线
；

(Ⅲ)求证:平面
.

图1 图2

19、已知等差数列
,
中,
,
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若将数列
的项重新组合，得到新数列
，具体方法如下:
，

，
，…,依此类推，

第
项
由相应的
中
项的和组成，求数列
的前
项和
.

20、已知椭圆

的右焦点为
，离心率为
.

（1）若
，求椭圆的方程；

（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，
的中点为M，
的中点为N，若原点
在以线段
为直径的圆上．

①证明点A在定圆上；

②设直线AB的斜率为k，若
，求
的取值范围．

21、已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
，求
在区间
上的最大值；

（III）设函数

，（
），试讨论函数
与
图象交点的个数．

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

（1）A （2）B （3）B （4）A （5）C

（6）B (7) A (8) D （9）D （10）C

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

（11）
（12）
，
（13）

（14）
（15）

三、解答题：（本大题6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）

16、解:（1）

则
的最小值是
,最大值是
．

（2）
,则
,

,
,

,
,

向量
与向量
共线，

，

由正弦定理得，
　　 ①

由余弦定理得，
，即
　　②

由①②解得
．

17、解：（Ⅰ） 由图可知， 第三组的频率为0．06
5=0．3；

第四组的频率为0．04
5=0．2；

第五组的频率为0．02
5=0．1

（Ⅱ）（1）设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试

P（M）=
=

（2）

0

1

2



P











18、 解：由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为
的正三角形，三棱柱的高
，

（Ⅰ）底面是高为
的正三角形，易知底面边长为2，所以底面面积
，

所求体积
.

（Ⅱ）连接
，且
，
正三棱柱侧面是矩形，

∴点
是棱
的中点 ……6分

因为D为棱
的中点.连接
，
是
的中位线，

又

，
，

.

(Ⅲ) 在正三棱柱

，

又由三棱柱性质知
且

平面
，

.

19、解：（Ⅰ）由
与

解得:
或
（由于
，舍去）

设公差为
，则
,解得

所以数列
的通项公式为

（Ⅱ）由题意得:

而
是首项为
,公差为
的等差数列的前
项的和,所以

所以

所以

所以

20、解：（1）由
，c=2，得a=
，b=2．

所求椭圆方程为
．

（2）设
，则
，

故
，
．

① 由题意，得
．

化简，得
，所以点
在以原点为圆心，2为半径的圆上．

② 设
，则




．

将
，
，代入上式整理，得

．

因为
，k2>0，所以
，
．

所以
．化简，得

解之，得
，
.

故离心率的取值范围是
.

21．解（Ⅰ）∵
，其定义域为
．

∴
．

∵
，∴当
时，
；当
时，
．

故函数
的单调递增区间是
；单调递减区间是
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数
的单调递增区间是
；单调递减区间是
．

当
时，
在区间
上单调递增，
的最大值
；

当
时，
在区间
上单调递增，在
上单调递减，则
在
处取得极大值，也即该函数在
上的最大值，此时
的最大值
；

∴
在区间
上的最大值

（Ⅲ）讨论函数
与
图象交点的个数，即讨论方程
在
上根的个数．

该方程为
，即
．

只需讨论方程
在
上根的个数，

令

，
．

因
，
，令
，得
，

当
时,
；当
时,
． ∴
，

当
时,
； 当
时,
， 但此时
，且以
轴为渐近线．

如图构造
的图象，并作出函数
的图象．

①当
即
时，方程无根，没有公共点；

②当
即
时，方程只有一个根，有一个公共点；

③当
即
时，方程有两个根，有两个公共点．