南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺（一）

数学（理）试题

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案）

1．已知i是虚数单位，则
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2．执行如图所示的程序框图，若输入x==2，则输出y的值为

A. 5 B. 9 C. 14 D. 41

3．设
，则
是

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知
是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引
的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是

A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线

5．已知函数
对定义域
内的任意
都有
=
，且当
时其导函数
满足
若
则

A．
B．

C．
D．

6．一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等比数列，这个数的所有可能值的和为

A. 9 B. 3 C. 20 D. -11

7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是

8．如果幂函数
图像经过不等式组
表示的区域，则a的取值范围是

A．
B．

C．
D．

9．设数列
的前
项和为
,
,
,若
,则
的值为

A.1007 B.1006 C.2012 D.2013

10．如图，三棱锥
的底面是正三角形，各条侧棱均相等，
．设点

、
分别在线段
、
上，且
，记
，

周长为
，则
的图象可能是

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知实数x，y满足
的图象与坐标轴所围成的封闭图形的内部的概率为

12．已知以
为周期的函数
，其中
。若方程

恰有5个实数解，则
的取值范围为

13．如图,在扇形
中,
,
为弧
上的一个动点.若

，则
的取值范围是 ．

14．若函数
在给定区间M上存在正数t，使得对于任意
，有
，且
，则称
为M上的t级类增函数。给出4个命题

①函数
上的3级类增函数

②函数
上的1级类增函数

③若函数
上的
级类增函数，则实数a的最小值为2

④设
是定义
在上的函数，且满足：1.对任意
，恒有
；2.对任意
，恒有
；3. 对任意
，
，若函数
是
上的t级类增函数，则实数t的取值范围为
。

以上命题中为真命题的是

三、选做题：请考生在下列两题中选一题，则按所做的一题评分。本题共5分

15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）

A．（不等式选讲）已知函数
．若关于x的不等式
的解集是
，则的取值范围是

B．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知曲线
与直线
相切，则实数
的值为_______

四、解答题：（本大题共6小题，共75分，其中第16—19小题每题12分，第20题13分，第21题14分）

16．（本小题满分12分）

已知函数

在区间
上单调递增,在区间
上单调递减;如图,四边形
中,
,
,
为
的内角
的对边，

且满足
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，设
，
,

，求四边形
面积的最大值.

(本小题满分12分)

某商场共五层，从五层下到四层有3个出口，从三层下到二层有4个出口，从二层下到一层有4个出口，从一层走出商场有6个出口。安全部门在每层安排了一名警员值班，负责该层的安保工作。假设每名警员到该层各出口处的时间相等，某罪犯在五楼犯案后，欲逃出商场，各警员同时接到指令，选择一个出口进行围堵。逃犯在每层选择出口是等可能的。已知他被三楼警员抓获的概率为
。

（Ⅰ）问四层下到三层有几个出口？

（Ⅱ）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网。设抓到逃犯时，他已下了
层楼，写出
的分布列，并求
。

18．（本小题满分12分）

如图，直角梯形
与等腰直角三角形
所在的平面互相垂直．
∥
，
，
，
．

（Ⅰ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅱ）线段
上是否存在点
，使
// 平面
？若存在，求出
；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分12分）

已知
,数列
满足
,数列
满足
；又知数列
中，
，且对任意正整数
，
.

（Ⅰ）求数列
和数列
的通项公式；

（Ⅱ）将数列
中的第
项，第
项，第
项，……，第
项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列
，求数列
的前
项和.

20．(本题满分13分)

如图，F1，F2是离心率为
的椭圆

C：
(a＞b＞0)的左、右焦点，直线
：x＝－
将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线l上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F2，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
（其中
，
），且函数
的图象在 点
处的切线与函数
的图象在点
处的切线重合．

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）若
，满足
，求实数m的取值范围；

参考答案

三、解答题

16．解：（Ⅰ）由题意知：
，解得：
， ………………………2分

………………………………………4分

……………………………………6分

（Ⅱ）因为
，所以
，所以
为等边三角形

…………8分

，……………10分

,
，

当且仅当
即
时取最大值,
的最大值为
………12分

17．解：（1）设四层下到三层有
个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇。

，解得
………………………3分

（2）
可能取值为0,1,2,3,4,5

………………………8分

所以，分布列为

0

1

2

3

4

5



p

















………………………………………………………………………………10分

………………………12分

18．解：（1）解法1：因为平面
平面
，且

所以BC⊥平面
，则
即为直线
与平面
所成的角………2分

设BC=a，则AB=2a，
，所以

则直角三角形CBE中，

即直线
与平面
所成角的正弦值为
． ………………………6分

解法2：因为平面
平面
，且
，

所以
平面
，所以
．

由
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
．

因为三角形
为等腰直角三角形，所以
，设
，

则
．

所以
，平面
的一个法向量为
．…………3分

设直线
与平面
所成的角为
，

所以
，

即直线
与平面
所成角的正弦值为
． …………………………6分

（2）存在点
，且
时，有
// 平面
．

证明如下：由
，
，所以
．

设平面
的法向量为

，则有

所以
取
，得
．………………………………9分

因为


，且
平面
，所以
// 平面
．

即点
满足
时，有
// 平面
．……………………………………12分

19．解：
,


…………………3分

又由题知：令
，则
,


……………5分

若
，则
，
，所以
恒成立

若
,当
,
不成立,所以
…………………………………6分

（Ⅱ）由题知将数列
中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列
中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是