数学理

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题 共40分）

一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）

1. 设
,则命题

是命题

成立的 （ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2. 定义在
上的函数
最小正周期为5，且
，则
的值为 ( )

A．6

B． -1

C．-6

D．1



3. 函数
的定义域为
，则其值域为 （ ）

A.
B.
C.
D.

4. 设
,若
是
与
的等比中项，则
的最小值为 （ ）

A．8

B．4

C．1

D．



5.已知直线
与曲线
相切，则
的值为 ( )

A．1

B．2

C．3

D．4



6. △
中，
分别是内角
的对边，且cos2

3cos(
)
,

=
,则
的值为 （ ）

A．3:1

B．
:1

C．
:1

D．2:1



7.若
，记符号
,例如：
，则函数
（ ）

A．是奇函数不是偶函数

B．是偶函数不是奇函数



C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数



8.函数
满足：对任意
，由关系式
得到的数列
都有
，则该函数
的图象是 ( )

Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.

第II卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

9. 设函数
，则
= .

10.含有三个实数的集合既可表示为
，也可表示为
，则
的值为 .

11. 函数
在
时有极值为10，则
的值为 .

12. 若实数
满足
，则
的最小值是_ _.

1



2





0.5



1

























13. 在如图的表格中，每格填上一个数字之后，使每一横行

各数组成等差数列，每一纵列各数组成等比数列，

则
的值为 .

14. 已知
,记

,(
).

则
+
+…+
=_____________.

三、解答题（本大题共6个小题共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. （本题满分13分）

设函数
.

（Ⅰ）求函数
的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）设
为
的三个内角，若
=
，
，且
为锐角，求
的值.

16.（本题满分13分）

设二次函数
满足条件：①
；②函数
的图象与直线
相切.

（I）求
的解析式；

（II）若不等式
在
时恒成立，求实数
的取值范围.

17. （本题满分13分）

如图，函数
的图象与
轴交于点
，且在该点处切线的斜率为
．

（1）求
和
的值；

（2）若点
，点
是该函数图象上一点，
是
的中点，当
，
时，求
的值．

18.（本题满分13分）

已知数列
的前
项和为
， 数列
满足

．

（Ⅰ）求数列
的通项公式
；

（Ⅱ）求数列
的通项公式
；

（Ⅲ）若
，求数列
的前
项和
．

19.（本题满分14分）

有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度.

其中
表示某学科知识的学习次数（
），
表示对该学科知识的掌握程度，正实数
与学科知识有关.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）证明：当

7时，掌握程度的增长量
总是下降；

（Ⅲ）根据经验，学科甲、乙、丙对应的
的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,

(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.（
1.04，
1.05，
1.06）

20.（本题满分14分）

已知函数
.

(Ⅰ)若
在
处取得极值，求
的值；

(Ⅱ)讨论
的单调性；

(Ⅲ)证明：
.

高三数学（理）参考答案及评分标准

一、选择题：（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

C

B

C

D

A

B



二、填空题：（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分）

题号

9

10

11

12

13

14



答案



2

0或-7









三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

15. （本题满分13分）解：（Ⅰ）

所以函数
的最大值为
,最小正周期
. -----------------------6分

（Ⅱ）
, 所以
,

因为C为锐角, 所以
,

又因为在
中,
=
, 所以
,

所以
.

---------------------------------13分

16. （本题满分13分）解：（I）∵由①知
的对称轴方程是
，

∴
；

∵函数
的图象与直线
相切，

∴
方程组
有且只有一解， 即
有两个相同的实根；

∴
.

∴
函数
的解析式为
. -------------------------6分

（II）∵
，∴
等价于
，

∵
在
时恒成立等价于

一次函数
在
时恒成立；

∴
，即
，

解得：
或
，

实数
的取值范围是
. --------------------13分

17. （本题满分13分）解：（Ⅰ）将
，
代入函数
得
，因为
，所以
．又因为
，
，
，所以
，因此
． --------------------------------------------------6分

（Ⅱ）因为点
，
是
的中点，
，点
的坐标为
．

又因为点
在
的图象上，所以
．

因为
，所以
，

从而得
或
．即
或
． ------------------13分

18. （本题满分13分）解：（Ⅰ）∵
,

∴
．

∴
．

当
时，
，

∴
------------------------------4分

（Ⅱ）∵

∴
，

，

，

………

，

以上各式相加得

．

∵
， ∴
． -----------------------9分

（Ⅲ）由题意得

当
时，

，

∴
，

相减得：

=

.

∴

(
)． ------------13分

19．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）
=0.9. ---------------------------------------------------2分

证明：（Ⅱ）当
时，

而当
时，函数
单调递增，且

故函数
单调递减，

当
时，掌握程度的增长量
总是下降. -----------------------7分

（Ⅲ）有题意可知
，整理得

解得

由此可知，该学科是乙学科. -------------------------------------------14分

20. （本题满分14分）

（Ⅰ）
因为
一个极值点，

，验证知a=0符合条件. ----------------------------2分

（Ⅱ）因为

1）若a=0时，

单调递增，在
单调递减；

2）若

上单调递减；

3）若

在
；

综上所述，若
上单调递减，

若

.

若
. ---------8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当

当

---------------------------------------------14分