2013年江西省 联 合 考 试

数学（理科）

命题人：上饶县中 杨学武 萍乡中学 杨井根

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）

1．已知
，则复数
的模等于（ ）

A.
B.
C.
D.

2．已知
是实数集，集合

，
，则
( )

A.
B.

C.
D.

3．一个算法的程序框图如右，则其输出结果是（ ）

A.0 B.

C.
D.

4．某几何体的三视图（单位：m）如图所示，则其表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

5．若圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过
，则（ ）

A．曲线C可为椭圆，也可为双曲线 B．曲线C一定是双曲线

C．曲线C一定是椭圆 D．这样曲线C不存在

6．设等差数列
的前n项和为
，且满足
，
，则
中最大项为（ ）

A.
B.
C.
D.

7．函数
的导函数为
，对任意的
，都有
成立，则（ ）

A.
B.

C.
D.
的大小不确定

8．已知点
是不等式组 表示的平面区域内的一个动点，且目标函数

的最大值为7，最小值为1，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9．正方体
的棱长为2，
是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），
为正方体表面上的动点，当弦
的长度最大时，
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．一高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数的大致图像可能是（ ）

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上）

11．已知向量
，满足
，且
，则
的夹角为 。

12．设
，则多项式
的常数项是 。

13.将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式的总数为 。

14．定义在R上的函数
满足

且当
时，有
，则
_____ _。

三、选做题（考生只能从中选做一题，两题都做的，只记前一题的分，本小题5分）

15．（1）（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系
中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
，曲线
，若两曲线有公共点，则
的取值范围是 。

（2）（不等式选做题）若不等式
对任意的实数
恒成立，则实数
的取值范围是 。

四、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）已知向量
，

，函数
，且函数
的最小正周期为
。

（1）求
的值；

（2）设
的三边
满足：
，且边
所对的角为
，若方程
有两个不同的实数解，求实数
的取值范围。

17．（本小题满分12分）已知数列
的首项
，前
项和为
，且

（1）求数列
的通项公式；

（2）设函数
，
是函数
的导函数，令

，求数列
的通项公式，并研究其单调性。

18. （本小题满分12分）甲、乙两名射击运动员参加射击选拔训练，在相同的条件下，两人5次训练的成绩如下表（单位：环）

次数

1

2

3

4

5



甲

6.5

10.2

10.5

8.6

6.8



乙

10.0

9.5

9.8

9.5

7.0





（1）请画出茎叶图，从稳定性考虑，选派谁更好呢？说明理由（不用计算）。若从甲、乙两人5次成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩至少有一个低于9.0环的概率；

（2）若从甲、乙两人5次成绩中各随机抽取二次，设抽到10.0环以上（包括10.0环）的次数为
，求随机变量
的分布列和期望；

（3）经过对甲、乙两人的很多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[6.5，10.5]之间。现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于1.0环的概率。

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA＝PB＝3，BC＝1，AB＝2，AD＝3，O是AB中点。

（1）证明CD⊥平面POC；

（2）求二面角C—PD—O的平面角的余弦值。

20. （本小题满分13分）设椭圆C1：
的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA 的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：
与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设M（0，
），N为抛物线C2上的一动点，

过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求
面积的最大值．

21．（本小题满分14分）已知函数
，其中
.

（1）求
的单调区间；

（2）求证：
＜

江西省2013届八校联考数学试卷（理科）

参 考 答 案

一，选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

C

D

B

C

B

D

A

B





二，填空题（每小题5分，共25分）

11．60° 12．
13.900 14.

三、选做题（考生只能从中选做一题，两题都做的，只记前一题的分，本小题5分）

15.（1）
（2）

四，解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（1）

………………………………… 5分

………………………………… 6分

（2）
中，
…………………8分

………………………………… 9分

有两个不同的实数解时

的取值范围是：
。 ………………………………… 12分

17. （1）由
得
…………… 2分

两式相减得
， …………… 4分

又由已知
，所以
，即
是一个首项为5，公比
的等比数列，所以
…………… 6分

（1）因为
，所以

……………8分

令
则

所以，作差得
所以

即
……………

而
所以，作差得

所以
是单调递增数列。 …………… 12分

18．（1）茎叶图如下：

甲



乙



8 5

6







7

0



6

8







9

5 5 8



5 2

1 0

0





从图上看，乙更集中，选派乙更好， ………………………………… 2分

从甲、乙两人5次成绩中各随机抽取一次，则至少有一个低于9.0

环的概率为
………………………………… 4分

（2）由题可知：随机变量
可能为：

X

0

1

2

3



 P

0.18

0.48

0.30

0.04



∴分布列为：

……………… 6分

期望为：EX=1.2 ……………… 8分

（3）设甲的成绩为
，乙的成绩为
，

则
即：
……………… 10分

则
……………… 12分

19.（1）
,O是AB的中点，
.

平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO
平面PAB,

PO⊥平面ABCD，∴PO⊥CD. ①

∵AD∥BC,∠ABC＝90°,∠BAD＝90°.

在Rt△OBC中，OB=BC=1,

在Rt△OAD中，OA=1,AD=3,OD=
.

过C作CE⊥AD，垂足为E,易得DE=CE=2,CD=
,

即CD⊥OC。② 由①②得，CD⊥平面POC。 …………4分

(2)取CD的中点F，连接OF，则OF⊥平面PAB.建立如图的空间直角坐标系O—xyz。

易知
,则P（0，0，
），D（—1，3，0），C（1，1，0），
,

………… 7分

设平面OPD的法向量为
，则
取
=（3，1，0）

设平面PCD的法向量为
，则
10分

取
=（2，2，
）。
…………11分

依题意二面角O—PD—C的余弦值为
。 …………12分

20．（1）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．

令y=0得
即
，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c=1．

所以
．于是椭圆C1的方程为：
．…………2分

（2）设N（
），由于
知直线PQ的方程为：

． 即
．……………………………4分

代入椭圆方程整理得：
,

=
,

,
,

故

．………………………………6分

设点M到直线PQ的距离为d，则
．……………7分

所以，
的面积S

…………12分

当
时取到“=”，经检验此时
，满足题意．

综上可知，
的面积的最大值为
．…………………………13分

21．（1）

……………… 2分

若
，则
的增区间是：
，

减区间是：
和
……………3分

若
，则
的减区间是
，无增区间 ……………… 4分

若