松江二中高三数学2月考试卷

2013-2

一．填空题（每题4分，共56分）

1、对于集合
、
，定义运算
，若
，

，则
______________。

2、若复数
满足
，（其中
为虚数单位），则
__________。

3、关于
的不等式
（
）的解集为_____________。

4、若函数
是函数
的反函数，则
___________。2

5、已知向量
与
的夹角为
,
,
,若
与
垂直，则实数
_________.1

6、已知数列
为无穷等比数列，且满足
，
，则数列
所有项的和为_________。

7、若
为锐角，且
，则
____________。

8、二项式
展开式中的常数项为________。

9、过双曲线
的左焦点
的弦
两点都在左支上，
为右焦点，且
的周长为30，则
。9

10、若关于
的方程组
有唯一的一组实数解,则实数
的值为______.

11、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其十位数比个位数大的概率是____________。

12、（文）已知关于
的二次不等式
的解集为
，且
，则
的最小值为___________。

（理）设
是定义在
上且周期为
的函数，在区间
上，
，其中
，若
，则
的值为___。

13、对任意
，函数
满足
，设
，数列
的前
项的和为
，则
．

14、（文）设数列
是公差为
的等差数列，
是互不相等的正整数，若
，则
.请你用类比的思想,对等差数列
的前
项和为
,写出类似的结论：若 ，则
。

（理）在平面直角坐标系中，定义
为两点
之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：

① 到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；

② 到
两点的“折线距离”相等的点的集合是一条直线；

③ 到
两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线；

④ 到
两点的“折线距离”之和为4的点的集合是一个六边形．

其中正确的命题是____________（写出所有正确命题的序号）①②③④

二、选择题：（每题5分，共20分）

15、函数
的零点个数为 （ C ）

A）
B）
C）
D）

16、设
、
都是非零向量，则下列四个条件：①
；②
；③
；④
。

则其中可作为使
成立的充分条件的有 （ B ）

A）
个 B）
个 C）
个 D）
个

17、已知抛物线
上一点

到其焦点的距离为
，双曲线
的左顶点为
，若双曲线一条渐近线与直线
平行，则实数
等于（ A ）

A．
　　 B．
C．
　 　 D．

18、已知点
．若曲线
上存在两点
，使
为正三角形，则称
为
型曲线．给定下列三条曲线：

①
； ②
； ③
．

其中，
型曲线的个数是 ( C )．

.

.

.

.

三、解答题：（12+14+14+16+18=74分）

19、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分）

已知
为等差数列，且
，
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）记
的前
项和为
，若
、
、
成等比数列，求正整数
的值。

解：（1）由
，
可得：
即
----------------------2’

代入
，可得：
-------------------------------------------------------4’

----------------------------------------------------------------6’

（2）
-----------------------------------------------------------------8’

--------------------------------------------10’

化简可得：
解得
（
舍去）----------------------------12’

20、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）

如图，
为一个等腰三角形形状的空地，腰
的长为
(百米)，底
的长为
(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路
(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为
和
.

(1) 若小路一端
为
的中点，求此时小路的长度；

(2) 求
的最小值。

解：(1) ∵ E为AC中点，∴ AE＝CE＝.

∵ ＋3＜＋4，∴ F不在BC上．----------------------------------------2分

若F在AB上，则AE＋AF＝3－AE＋4－AF＋3，∴ AE＋AF＝5.

∴ AF＝＜4.

在△ABC中，cosA＝.------------------------------------------------------4分

在△AEF中，EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcosA＝＋－2×××＝，

∴ EF＝ 即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)．--------------6分

(2) 若小道的端点E、F点都在两腰上，如图，设CE＝x，CF＝y，

则x＋y＝5，

＝＝－1

＝－1

＝－1≥
＝ (当x＝y＝时取等号)；--------------------------9分

若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，

设AE＝x，AF＝y，则x＋y＝5，

＝＝－1＝－1≥
＝ (当x＝y＝时取等号) ----12分

答：最小值是.-----------------------------------------------------------14分

21、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）

已知圆
经过椭圆
的右焦点
及上顶点
。

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆外一点
倾斜角为
的直线
交椭圆于
、
两点，

若点
在以线段
为直径的圆
的外部，求
的取值范围。

解：（1）
与
轴、
轴交点为
和
-----2’

，
，
------------------------------------------4’

椭圆方程为：
------------------------------------------------------------6’

（2）设直线
的方程为：
（
）

可得：
------------------------------8’

可得：
即
----9’

设
，
，则
，
----------------10’

----------------------------12’

化简得：
可得：
，

取值范围为
---14’

22、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）

定义非零向量
的“相伴函数”为
（
），向量
称为函数
的“相伴向量”（其中
为坐标原点）。记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为
。

（1）已知
，求证：
；

（2）求（1）中函数
的“相伴向量”模的取值范围；

（3）已知点
满足条件：
且
，向量
的“相伴函数”
在
处取得最大值。当点
运动时，求
的取值范围。

解：（1）

----------------------------------------2’

函数
的相伴向量
，
----------4’

（2）
--------------------------------6’

，

的取值范围为
---------------------------------------------------------------10’

（3）
的相伴函数
，

其中
--------------------------------------------11’

当
即
时
取得最大值--12’

--------------------------------------------13’

-----------------------------------------14’

为直线
的斜率，由几何意义知
--------------------------------15’

令
，则

当
时，

-----------------------------------------------------------------------16’

23、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分）

（文）已知函数
（常数
）的图像过点
、
两点。

（1）求
的解析式；

（2）问：是否存在边长为
正三角形
，使点
在函数
图像上，
、
从左至右是
正半轴上的两点？若存在，求直线
的方程，若不存在，说明理由；

（3）若函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，且不等式

恒成立，求实数
的取值范围。

(理)已知
是函数
的图象上的任意两点，点
在直线
上，且
.

（1）求
+
的值及
+
的值；

（2）已知
，当
时，
，设
，
为数列
的前
项和，若存在正整数
，使得不等式
成立，求
和
的值.

（3）在（2）的条件下，设
，求所有可能的乘积
的和．

(文)解：（1）把
和
分别代入
可得：

化简此方程组可得：
即

可得
，
，代入原方程组可得：

---------------------------------------------------------------------4’

（2）由
边长为
可知：此三角形的高即点
的纵坐标为
--5’

点
的坐标为
-------------------------------------------------------------6’

点
的横坐标为
，即
--------------------------------7’

，
直线
的倾斜角为
--------------------------------8’

这样的正三角形存在，且点
，

直线
的方程为
即
--------------------10’

（3）由题意知：
为
的反函数，
（
）------------------12’

即
当
恒成立-----13’

即
当
恒成立，---------------------15’

只需求函数
在
上的最小值即可，

又
在
单调递增-----------------------------16’

，
------------------------------------18’

（理）解：（1）∵点
在直线
上，设
.又
，即
，
，∴
--- --- --- --- ---(1分)

①当
时，
=
，
；------------------（2分）

②当


时，


，
+
=

=
=
；---------------------------------------------（3分）

综合①②得，
+
. ------------------------------------------------------------------（4分）

（2）由（1）知，当
时,
.

∴
，
，---------------------------------------（5分）

∴
时，

+
+
+
，①

，②

①＋②得，
,则
.---------------------------------------------（6分）

又
时，
满足上式， ∴
.------------------------------------------（7分）

，

=
.

.---------------（8分）

，
，

∴

，
为正整数，∴
，------------------------（9分）

当
时，
，∴
，∴
.---------------------------------（10分）

（3）
，
.

将所得的积排成如下矩阵：

，设矩阵
的各项和为
.

在矩阵的左下方补上相应的数可得

-------------------------------------------------------------（12分）

矩阵
中第一行的各数和
，

矩阵
中第二行的各数和
，

………

矩阵
中第
行的各数和
，---------------（14分）

从而矩阵
中的所有数之和为
.---------------------------（16分）

所以
------------------（18分）