吉林省2013年高考复习质量监测

理科数学

第I卷

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A=﹛x︱-10﹜,则A∩B为

A (-1,1) B (0,1) C（0，
） D ￠

(2)已知z=
，其中i是虚数单位，则z+z2+z3+…+z2013的值为

A 1+i B 1-i C i D -i

（3）设x,y满足约束条件
则z=-2x+y的最小值为

A －
B －1 C 0 D 1

(4)已知
，cosa=k则sin(
+a)=

A
B-
C
D-

(5)在6道题中有道理综题和3道文综题如果不放回地依次抽取2道题，则“在第1次投到理综题的条件下，第2次抽到文综题”的概率为

A
B
C
D

（6）
的展开式中的常数项为

A 84 B －84 C 504 D －504

（7）已知三棱锥S—ABC的四个顶点都在半径为1的球面上，底面ABC是正三角形，SA = SB = SC，且平面ABC过球心，则三棱锥S-ABC的体积是

A
B
C
D

（8）将函数y =
sin2x的图象向右平移
个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为

A y =
sinx B y = -
cosx C y =
sin4x D y =-
cos4x

（9）函数f(x)=
的图象大致为

（10）已知某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则它的俯视图可能是

（11）已知互相垂直的两条直线y=kx和y=-
分别与双曲线2x2-y2=1交于点A，B，点P在线段AB上，且满足
则所有的点P在

A 双曲线2x2-y2=1上 B 圆x2+y2=1上

C 椭圆
上 D |x|+|y|=1上

（12）已知函数f(x)=
设方程f(x) =2-x + b (b
R)的四个不等实根从小到大依次为x1 ,x2, x3 ,x4, 对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为

①0 < x1·x2 < 1或0<(6-x3).(6-x4)<1

② 0 < x1·x2 < 1且(6-x3).(6-x4)>1

③ 0 < x1·x2 < 9或9 < x3·x4 < 25

④ 0 < x1·x2 < 9且25 < x3·x4 < 36

A 1 B 2 C 3 D 4

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、设单位向量a,b的夹角为60°，则∣a + 2b∣= .

14、若执行如图所示的程序框图，则输出的k值为 。

15 由直线y=x-3，曲线y=
以及x轴所围成的图形的面积是_____

16设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

acosB-bcosA =
c,则tan2B·tan3A的最大值为 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）

已知数列﹛an﹜中，a1=2,an =

.

(I)设bn =

，求证：数列﹛bn﹜是等差数列

（II）设cn =
(
)，求数列﹛cn﹜的前n项和Sn。

18、（本小题满分12分）

如图，在四棱锥A-BCC1B1中，等边三角形ABC所在平面与正方形BCC1B1所在平面互相垂直，D为CC1中点

（I）求证：BD ⊥AB1 ：

（II）求二面角B－AD－B1的余弦值。

19、（本小题满分12分）

某电视台2012年举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训。下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：

赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数不低于85票的可进入决赛，其中票数不低于95票的徒手在决赛时拥有“优先挑战权”。

（I）从进入决赛的选手中随机抽出2名，X表示其中恰有“优先挑战权”的人数，求X的分布列

（II）请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为进入决赛与选择导师有关？

甲班

乙班

合计



进入决赛









未进入决赛









合计









下面临界值表仅供参考：

P（K2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



参考公式：K2=
],其中n = a +b +c +d

20、(本小题满分12分)

如图，已知点A（0，1），点P在圆C：x2 + (y +1 )2 = 8上，点M在AP上，点N在CP上，且满足AM = MP，NM ⊥AP，设点N的轨迹为曲线E。

(I)求曲线E的方程；

(II) 过原点且斜率为k(k>0)的直线l交曲线E于F，H两点，直线FO交曲线E于另一点G，求ΔFHG的面积最大值

21、（本小题满分12分）

设函数f(x) =x2 + bx - a·lnx.

(I) 若x=2是函数f(x)的极值点，1和x0是函数f(x)的两个不同零点，且x0∈(n,n+1),n∈N，求n

(II) 若对任意b∈[ - 2 ,- 1 ], 都存在x∈（1 ，e ）(e 为自然对数的底数)，使得f(x)<0成立，求实数a 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。

22、(本小题满分10分) 选修4-1： 几何证明选讲

如图，已知ABCD为直角三角形，其中∠B =∠C = 90°，以AD为直径作⊙O交BC于E，F两点。证明：

(I) BE = CF

(II) AB ·CD = BE ·BF

23、（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l过点P（0，
） ，且倾斜角为150°.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
=0 (θ为参数，
> 0).

I 、写出直线l的参数方程和圆C的直角坐标方程：

II、设直线l与圆C相交于A,B两点，求 ︱PA︱ ·︱PB︱的值。

24、（本小题满分10分）选修4-5 ：不等式选讲

已知f(x) = ︱ax + 1︱ (a
R)，不等式f(x) >5的解集为﹛x︱x>2或x<-3﹜.

(I)求a 的值；

(II) 若不等式f(x) –f(
) ≤k 在R上有解，求k的取值范围。

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理科数学试题答案及评分参考

评分说明：

本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

只给整数分数．选择题不给中间分．

一、选择题

（1）（B） （2）（C） （3）（A） （4）（D） （5）（D） （6）（B）

（7）（C） （8）（D） （9）（A） （10）（C） （11）（B） （12）（C）

二、填空题

（13）
（14）5 （15）18 （16）-512

三、解答题

（17）解：

（Ⅰ）∵
，∴
.

∴
，……………………4分

∴
是首项为
，公差为1的等差数列. ………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

∵
，………………………………………………8分

∴

． …………………………………12分

（18）解：

（Ⅰ）证明：取
中点
，连结
．

为正三角形，
．

平面
平面
，平面
平面

平面

平面
，∴
．…………………………………………………4分

∵正方形
中，
分别为
的中点，

∴
.又
，

平面
，
． …………………………………………………6分

（Ⅱ）取
中点
，以
为原点，分别以
、
、
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
，不妨设
.

由题意知
，

，
，则
，
，
，
， ……………………………8分

设
是平面
的法向量，

则
即
可取
，

同理，设
是平面
的法向量，可取
，

∴
，

∴二面角
的余弦值
.………………………………………………………12分

（19）解：

（Ⅰ）进入决赛的选手共13名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名. ……………2分

根据题意，
的可能取值为
.

，
，
.

的分布列如下：

X

0

1

2



P









 …………………………………………………6分

（Ⅱ）
列联表：

甲班

乙班

合计



进入决赛

3

10

13



未进入决赛

17

10

27



合计

20

20

40



 …………………………………………………9分

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为进入决赛与选择的导师有关.…………12分

（20）解：

（Ⅰ）NM为AP的垂直平分线，∴|NA|=|NP|，

又∵|CN|+|NP|=
，∴|CN|+|NA|=
>2.

∴动点N的轨迹是以点
，
为焦点的椭圆， ……………………3分

且长轴长
，焦距
，∴
，

∴曲线E的方程为
． ……………………………………………………5分

（Ⅱ）⑴ 当直线
与
轴重合时，
不存在.

⑵ 当直线
与
轴不重合时，

设直线
的方程为

，则

由
得

…………………………………………………7分

点
到直线
的距离

………………………………10分

设

则

此时，

…………………………………………………………………12分

（21）解：

（Ⅰ）
，

∵
是函数
的极值点，∴
.

∵1是函数
的零点，得
，

由
解得
. …………………………………………………2分

∴
,
，

令
，
，得
；

令
得
，

所以
在
上单调递减；在
上单调递增. ………………………………4分

故函数
至多有两个零点，其中

，

因为
，
，
，

所以
，故
．…………………………………………………………………6分

（Ⅱ）令
，
，则
为关于
的一次函数且为增函数，

根据题意，对任意
，都存在
，使得
成立，

则
在
有解，

令
，只需存在
使得
即可，

由于
=
，

令
，
，

∴
在(1，e)上单调递增，
，………………………………………9分

①当
，即
时，
，即
，
在(1，e)上单调递增，

∴
，不符合题意.

②当
，即
时，
，

若
，则
，所以在(1，e)上
恒成立，即
恒成立，

∴
在(1，e)上单调递减,

∴存在
，使得
，符合题意.

若
，则
，∴在(1，e)上一定存在实数m，使得
，

∴在(1，m)上
恒成立，即
恒成立，
在(1，m)上单调递减,

∴存在
，使得
，符合题意.

综上所述，当
时，对任意
，都存在
，使得
成立.

…………………………………………………12分

（Ⅱ）方法二

，
，

设
，

因为
，所以
在
上单调递增，且
，

（1）当
，即
时，因为
，所以
.

此时
，所以
在
上恒成立；即
在
上单调递增.

若存在
，使得
成立，则
，即
恒成立.

因为
，则
时不成立，所以
不成立. ……………………………9分

（2）因为
，所以
，

当
，即
时，因为
，所以
.此时，

（i）当
时，
在
上恒成立，则
在
上单调递减.

因为
，所以存在
，使得
成立.

（ii）当
时，则存在
，使得
，因为
在
上单调递增，

所以当
时，
，则
在
上单调递减；

因为
，故在
内存在
，使得
成立.

综上：满足条件的a的取值范围为
.……………………………………………12分

（22）证明：

（Ⅰ）过O作OG⊥EF，则GE＝GF，OG∥AB．

∵O为AD的中点，∴G为BC的中点．

∴BG＝CG， ∴BE＝CF. ………………………………5分

（Ⅱ）设CD与⊙O交于H，连AH，∵∠AHD＝90°，

∴AH∥BC, ∴AB＝CH．∵CD·CH＝CF·CE，

∴AB·CD＝BE·BF. …………………………………………………………………10分

（23）解：

（Ⅰ）由已知得，

直线
的参数方程为
， ………………………………………3分

圆
的直角坐标方程为
. ………………………………………………5分

（Ⅱ）将
代入
，

整理得
，设方程两根分别为
则

根据参数
的几何意义，得点
到
两点的距离之积为
. ……………10分

（24）解：

（Ⅰ）由|ax＋1|＞5得
或
．

又f(x)＞5的解集为{x|
或
}，

当a＞0时，
或
，得a＝2．

当a≤0时，经验证不合题意．

综上，
. ……………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）设g(x)＝f(x)－
，则

则函数
的图象如下：

由图象可知，g(x)≥
，

故原不等式在
上有解时，k≥
．

即
的取值范围是k≥
．………………………………………………………10分