2014-2015学年第二学期期中考试高二理科数学

（考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：肖惠英）

本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)

A．E B．F C．G D．H

2.复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)

A．－1－i B．－1＋I C．1－i D．1＋i

3.已知复数的模等于2，则
的最大值等于（ ）

A.1 B.2 C.
D.3

4.积分


＝(　　)

A.π
B.π
C．π
D．2π

5.y＝
（2x2－1)的导数是(　　)

A.
B.
C.
D.

6.函数f(x)＝x3＋x－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数的取值范围是(　　)

A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)

7.下面使用类比推理正确的是（　　）

A．直线
,则
，类推出：向量
，则

B．同一平面内，直线
若
，则∥b．类推出：

空间中，直线
若a⊥c，b⊥c，则∥b

C．实数
若方程x2+ax+b=0有实数根，则
．类推出：

复数
若方程
有实数根，则

D．以点（0，0）为圆心，为半径的圆的方程为
．类推出：

以点（0，0，0）为球心，为半径的球的方程为

8.关于函数f(x)＝2x3－6x2＋7，下列说法不正确的是(　　)

A．在区间(－∞，0)内，f(x)为增函数

B．在区间(0,2)内，f(x)为减函数

C．在区间(2，＋∞)内，f(x)为增函数

D．在区间(－∞，0)∪(2，＋∞)内，f(x)为增函数

9. 某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时命题不成立，那么可推得(　　)

A．当n＝4时该命题不成立 B．当n＝6时该命题不成立

C．当n＝4时该命题成立 D．当n＝6时该命题成立

10.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设
，且
，求证：
索的因应是(　　)

A．
B．
C．
D．

11.设函数f(x)＝

，则
(　　)

A．在区间
，(1，e)内均有零点 B．在区间
，(1，e)内均无零点

C．在区间
内有零点，在区间(1，e)内无零点

D．在区间
内无零点，在区间(1，e)内有零点

12.若函数
在区间
上不是单调函数，则实数
的取值范围是（ ）

A.
或
或
B.
或

C.
D.不存在这样的实数

二、填空题（每空5分，共20分）。

13.方程
实根的个数为 .

14.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．

15.若
，则
= .

16.已知：
中，
于，三边分别是
，则有
；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体
中，
，


的面积分别是
，二面角
的度数分别是
，则
　　　　．

三、解答题：（共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）已知f(x)＝x2＋px＋q.

(1)求证：f(1)－2f(2)＋f(3)＝2；

(2)求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.

18.（本小题满分12分）设函数

为奇函数,其图象在点
处的切线与直线
垂直,导函数
的最小值为
.

(1)求,
,的值;

(2)设
,当
时,求
的最小值.

19.（本小题满分12分）若函数
存在单调递减区间，求实数的取值范围.

20.（本小题满分12分）设函数
,曲线
在点
处的切线方程为
.

(1)求
的解析式;

(2)证明:曲线
上任一点处的切线与直线
和直线
所围成的三角形面积为定值,并求此定值.

21.（本小题满分12分）如图1,在等腰直角三角形
中,
,
,
分别是
上的点,
,
为
的中点.将
沿
折起,得到如图2所示的四棱锥
,其中
.

(1) 证明:
平面
;

(2) 求二面角
的平面角的余弦值.



22.（本小题满分12分）设函数

(1)当
时，求函数
的单调区间；

(2)令
，其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤恒成立，求实数的取值范围；

(3)当
时，方程
在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．

高二期中考试理科数学参考答案：

一、DADBA BDDAA DB

二、13. 2 14. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 15.

16.

17.证明：(1)f(1)－2f(2)＋f(3)＝1＋p＋q－2(4＋2p＋q)＋9＋3p＋q＝2. ………4分

(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，…………6分

则有|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<.

∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|

f(1)－2f(2)＋f(3)＝2， …………9分

这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2矛盾．

∴假设不成立，从而原命题成立．…………10分

18.解:(1)∵
为奇函数,∴
,

即
, ∴
,…………2分

又∵
的最小值为
,∴
， …………4分

又直线
的斜率为
,因此,
, ∴
,

∴
,
,
为所求. …………7分

(2)由(1)得
,∴当
时,

, …………10分

当且仅当
时取等号 …………11分

∴
的最小值为
. …………12分

19解：由于
…………2分

因为函数f(x)存在单调递减区间，所以
<0有解. …………4分

又因为函数的定义域为
，则ax2+2x－1>0应有x>0的解. …………5分

时成立…………7分

当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0

总有x>0的解；…………9分

②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解，则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1

20.解:(1)方程
可化为
.

当
时,
. 又
,…………2分

于是
解得
,故
. …………5分

(2)设
为曲线上任一点,由
知曲线在点
处的切线方程为

,即
.…………8分

令
得
,从而得切线与直线
的交点坐标为
.…………9分

令
得
,

从而得切线与直线
的交点坐标为
.…………10分

所以点
处的切线与直线
,
所围成的三角形面积为
.

故曲线
上任一点处的切线与直线
,
所围成的三角形的面积为定值,此定值为
.…………12分

21.解：(1) 在图1中,易得
…………1分



连结
,在
中,由余弦定理可得

…………3分

由翻折不变性可知
,

所以
,所以
, …………4分

理可证
, 又
,所以
平面
. …………6分

(2) 以
点为原点,建立空间直角坐标系
如图所示,

则
,
,

所以
,

设
为平面
的法向量,则

,即
,解得
,令
,得
…………8分

由(1) 知,
为平面
的一个法向量, …………10分

所以
,即二面角
的平面角的余弦值为
. …………12分

22.解：(1)依题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)．…………1分

当
时，f(x)＝lnx－x2－x，f′(x)＝－x－＝
，

令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)．…………2分

当0＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，

所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞). …………3分

(2)F(x)＝lnx＋，x∈(0,3]，

则有k＝F′(
)＝
≤在(0,3]上恒成立.……4分

所以
，

当
＝1时，－x＋
取得最大值.…………6分
.…………7分

(3)当
时，f(x)＝lnx＋x，

由f(x)＝mx，得lnx＋x＝mx，

又x＞0，∴m＝1＋.…………9分要使方程f(x)＝mx在区间上有唯一实数解．

只需m＝1＋有唯一实数解，令g(x)＝1＋(x＞0)，∴g′(x)＝，

由g′(x)＞0，得0＜x＜e.g′(x)＜0，得x＞e，

∴g(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．

g(1)＝1，g(e2)＝1＋＝1＋，g(e)＝1＋，…………11分

∴m＝1＋或1≤m＜1＋.…………12分