唐山一中2014—2015学年第二学期期中考试高二数学理科试卷

命题人：朱崇伦 李雪芹

说明：1．考试时间120分钟，满分150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用黑色字迹的签字笔答在答题纸上。

3．卷Ⅱ卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后5位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1. 若复数满足
（是虚数单位)，则的共轭复数为 （ ）

A．
B．
C． D．

2. （1）已知
，求证：
.用反证法证明时，可假设
；

（2）若
，
，求证：方程
的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根
的绝对值大于或等于1，即假设
；

以下结论正确的是 （　 ）

Ａ．（1）与（2）的假设都错误?????? Ｂ．（1）的假设正确；（2）的假设错误

Ｃ．（1）与（2）的假设都正确 Ｄ．（1）的假设错误；（2）的假设正确

3. 设随机变量
服从正态分布
，则
(　　)

A.
? ? B．
?????? C．1－2? ?????? D. 1－

4. 用数学归纳法证明不等式：
(
，
)，在证明
这一步时，需要证明的不等式是 （??? ）

A．
B．

C．

D．

5. 曲线
在点（1,
）处的切线与坐标轴围成的三角面积为 (　　)

A．
B．
C．
D．

6. 已知随机变量X服从二项分布X～B(6，
)，则P(X＝2)等于 (　 )

A.
B.
C.
D.

7. 把13个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为 （ ）

A．36???????? B.? 45????? C. 66?????? ?D.78

8. 若函数
在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是

（ ）

A.
B.0 C.
D.1

9.向边长分别为5，6，
的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

10. f(x)是R上的可导函数，且f(x)+ x
>0对x∈R恒成立，则下列恒成立的是（ ）

A. f(x)>0 B. f(x)<0 C. f(x)>x D. f(x)

11.曲线
与两坐标轴所围成图形的面积为 （ ） A．
???? B．
?? C．
?? D．

12.定义域为的函数
对任意的都有
，且其导函数
满足：
，则当
时，下列成立的是 （ ）

A．
???? B．
??

C．
?? D．

卷Ⅱ(非选择题 共90分)

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇A的概率为 （用数字作答）．14. 设常数
，若
的二项展开式中
项的系数为-10，则=??????? ．

15.在等差数列
中，若
，则有

成立．类比上述性质，在等比数列
中，若
，则存在的类似等式为________________________．

16.设函数
在上存在导数
，
，有
，

在
上
，若
，则实数的取值范围是_____________.?

三．解答题：（本大题共６小题，共70分）

17．（本小题满分10 分）

已知
(
)的展开式中的系数为11.

（1）求
的系数的最小值；

（2）当
的系数取得最小值时，求
展开式中的奇次幂项的系数之和.

18．（本小题满分12 分）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，且
，
，

侧面
底面
， 若
.

（1）求证：
平面
；

（2）求二面角
的余弦值.

19．（本小题满分12 分）

已知函数
是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的、
∈R，都满足
，若
=1，
.

（1）求
、
、
的值；（2）猜测数列
通项公式，并用数学归纳法证明.

20. （本小题满分12 分）

某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.

（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；

（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为
，答对文科题的概率均为
，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分
的分布列与数学期望
.

21. （本小题满分12 分）

已知抛物线
的焦点F和椭圆
的右焦点重合.

（1）求抛物线
的方程；

（2）若定长为5的线段
两个端点在抛物线
上移动，线段
的中点为
，求点
到y轴的最短距离，并求此时
点坐标.

22．（本题满分12分）

已知函数
.

（1）若
，试确定函数
的单调区间；

（2）若
，且对于任意
，
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（3）设函数
，求证：
.

唐山一中2014—2015学年第二学期期中考试

高二理科数学参考答案

一、选择题：CDBD,ADAC,AACB.

二、填空题：13、
；14、-2；15、

；

16、
.

三、解答题：

17．解：（1）由题意得：
，即：m+3n=11.-----------------------2分

x2的系数为：

--------------------4分

当n=2时，x2的系数的最小值为19，此时m=5 --------------------- 6分

（2）由（1）可知：m=5，n=2，则f（x）=（1+x）5+（1+3x）2

设f（x）的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5 ----------------------8分

令x=1,则f(1)=a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5

令x=-1,则f(-1)=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5 -------------------------------------10分

则a1+a3+a5=
=22,所求系数之和为22--------------------------------12分

18．解：

（1）因为
，所以
.

又因为侧面
底面
，且侧面
底面
，

所以
底面
.而
底面
，所以

.

在底面
中，因为
，
，所以
， 所以

. 又因为
， 所以
平面
. 6分

（2）法一：设
为
中点，连结
，则

.又因为平面
平面
，

所以
平面
.过
作
于
，连结
，则：
.

所以
是二面角
的平面角。…………………………………………9分

设
，则
,
.

在
中，
，所以
.所以
，
.即二面角
的余弦值为
. …………………………12分

法二：由已知，
平面
，所以
为平面
的一个法向量.

可求平面
的一个法向量为：
.………………………………………9分

设二面角
的大小为
，由图可知，
为锐角，

所以
.

即二面角
的余弦值为
. …………………………………12分

19．解：（1）

----------------------3分

（2）由（1）可猜测：?
=n(
--------------------------5分

下用数学归纳法证明：

当n=1时，左边=
右式= 1(
( n=1时，命题成立。

假设n=k时，命题成立，即：
=k(
，---------------------7分

则n=k+1时，左边=

--------------------------------------10分

( n=k+1时，命题成立。

?综上可知：对任意n∈
都有
=n(
。-----------------11分

所以：an== =
。-------------------------------------------12分

20.解：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则
,
. ……………………………2分

所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为
. ………………………………………………………………5分

（2）
的可能取值为：0,10,20,30，则
,
,
,

.……………………………………………………9分

X

0

10

20

30



p











………………………………………………………………………………………………10分

∴
的数学期望为
=
.…………………………………………………………12分

21.解：（1）∵椭圆的右焦点
,
，即
.

∴抛物线
的方程为
……………………………………………………………4分

（2）要求
点到y轴距离最小值，只要求出
点到抛物线准线的距离最小值即可.过
，设焦点为F.

，当且仅当线段
过焦点F时取等号.∴
点到y轴的最短距离为
；……………………8分

设此时中点
的坐标为（
），则
，设
，
，则
，
，两式相减得：
，即
，

∴
，∴
，∴此时
点坐标为
……………………12分

22． 解：（1）由
得
，所以
．

由
得
，故
的单调递增区间是
，……………………2分

由
得
，故
的单调递减区间是
…………………4分

（2）由
可知：
是偶函数．

于是
对任意
成立等价于
对任意
成立………5分

由
得
．

①当
时，
． 此时
在
上单调递增． 故
，符合题意．…………………………………………6分

②当
时，
．

当变化时
的变化情况如下表：





















单调递减

极小值

单调递增



由此可得，在
上，
．

依题意得：
，又
．

综合①，②得，实数
的取值范围是：
．…………………………………8分

（3）
，

………………………………………………………………………………………………9分

，

由此得：

故
．……………………………………12分