20142015学年第二学期第一次月考高二理科数学

（考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：肖惠英）

本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数在某一点的导数是(　 　)

A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数

C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

2.如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　 　)

A．f′(x0)＞0　　B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在

3.函数
在点
处的导数是 ( )

A．
B．
C．
D．

4. 函数
的导数是（ ）

A.
B.

C .
D.

5. 若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(　 　)

A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0)

6.函数
的定义域为开区间
，导函数
在
内的图象如图所示，

则函数
在开区间
内有极小值点（　 ）

A．个 B．个

C．
个 D．个

7. 已知直线
是
的切线，则
的值为(　 　)

A. 1 B . C.
D.

8.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱
,
,则直线

与直线
夹角的余弦值为（　　 ）

A.
B.
C.
D.

9.如图，在三棱柱
中，侧棱垂直于底面，

底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则
与

平面
所成的角为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．若点P是曲线
上任意一点，则点P到直线
的最小距离为(　 　)

A．1 B. C. D.

11.定义在R上的函数
满足：
的导函数，则不等式
（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
=
-2lnx(∈R)，
=
，若至少存在一个
∈
，使得
成立，则实数的范围为（ ）

A．[1，+∞) B．(1，+∞) C．[0，+∞) D．(0，+∞)

二、填空题（每空5分，共20分）。

13.已知
，则
＝________.

14. 若过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________.

15.函数
的单调递减区间是_________.

16.若函数
在
处有极大值，则常数的值为_________.

三、解答题：（共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）已知曲线y＝x2－1与y＝1＋x3在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．

18.（本小题满分12分）已知函数

(1)若
在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数的取值范围；

(2)是否存在实数，使
在(－1,1)上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在试说明理由．

19．（本小题满分12分）已知
的图象经过点
，且在
处的切线方程是

（1）求
的解析式；

（2）求
的单调递增区间。

20.（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥
中，
，
，点在
上，且
.

（1）求证：
平面
；

（2）求二面角
的余弦值；

21(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值．

(1)求c的取值范围；

(2)若f(x)在x＝2处取得极值，且当x<0时，f(x)<d2＋2d恒成立，求d的取值范围．

22. (本小题满分12分)已知
，函数
，
．

(1)若曲线
与曲线
在它们的交点
处的切线重合，求，
的值；

(2)设
，若对任意的
，且
，都有
，求的取值范围．

高二第一次月考理科数学参考答案：

一、CBDCC ACAAB BD

二、13.－4 14. (1，) 15.
16.

17.解：对于y＝x2－1，有y′＝x，k1＝y′|x＝x0＝x0； …………3分

对于y＝1＋x3，有y′＝3x2，k2＝y′|x＝x0＝3x02. …………6分

又k1k2＝－1， …………8分

则x03＝－1，x0＝－1. …………10分

18.解：(1)f′(x)＝3x2－a …………2分

由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，

因此当f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增时，a的取值范围是(－∞，0]．……6分

(2)若f(x)在(－1,1)上单调递减，

则对于任意x∈(－1,1)不等式f′(x)＝3x2－a≤0恒成立…………8分

即a≥3x2，又x∈(－1,1)，则3x2<3因此a≥3

函数f(x)在(－1,1)上单调递减，实数a的取值范围是[3，＋∞)．…………12分

19.解：（1）
的图象经过点
，则
，…………2分

…………3分

切点为
，则
的图象经过点

得
…………5分

…………6分

（2）
…………8分

…………10分

单调递增区间为
…………12分

20.解：（1）正方形
边长为1，
，
，

所以
，即
，
，

因为
，所以
平
. ………5分

（2）如图，以为坐标原点，直线
，
，
分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则
，
.

由（Ⅰ）知
为平面
的法向量，
， …………7分

设平面
的法向量为
，

由
，
，

得

令
，则
，
，

所以
， ………10分

所以
，

即所求二面角的余弦值为
. …………12分

21.解：(1)∵f(x)＝x3－x2＋cx＋d，

∴f′(x)＝x2－x＋c，………… 2分

要使f(x)有极值，则方程f′(x)＝x2－x＋c＝0有两个不相等的实数解，

从而Δ＝1－4c>0，∴c<. …………5分

(2)∵f(x)在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝4－2＋c＝0，∴c＝－2.………7分

∴f(x)＝x3－x2－2x＋d.

∵f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)，…………9分

∴当x∈(－∞，－1]时，f′(x)>0，函数单调递增，

当x∈(－1,2]时，f′(x)<0，函数单调递减．

∴x<0时，f(x)在x＝－1处取得最大值＋d，…………10分

∵x<0时，f(x)<d2＋2d恒成立，…………11分

∴＋d<d2＋2d，即(d＋7)(d－1)>0，

∴d<－7或d>1，

即d的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞)．…………12分

22.解：(1)
，
.

，
……2分

由题意，
，
，
.

又因为
，
.
,得
……4分

(2)由
可得，

令
，则
在
单调递增 ……8分

则
在
恒成立 ……10分

即
，

故，
……12分