1.下列选项叙述错误的是（ ）

A．命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”

B．若命题
，则命题
是

C．若
为真命题，则，均为真命题

D．“
”是“
”的充分不必要条件

2.已知
是公比为的等比数列，且
成等差数列，则＝（ ）

A． B．
C．
D．或

3．已知
满足
则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．给出下面四个命题：

①“
”的充要条件是“平行于所在的平面”；

②“直线
平面内所有直线”的充要条件是“
平面”；

③“直线
为异面直线”的充分而不必要条件是“直线
不相交”；

④“平面//平面
”的必要而不充分条件是“内存在不共线三点到
的距离相等”．

其中正确命题的序号是（ ）

A.①② B．②③ C．③④ D．②④

5．设
是三角形的一个内角，且
，则曲线
表示（ ）

A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线

6. 正四棱柱
中,
,则
与平面
所成角的正弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知双曲线的离心率
，且与椭圆
有相同的焦点，该双曲线的渐近线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．过抛物线
的焦点作一条直线交抛物线于
，则
为（ ）

A． B．
C．
D．

9．设点是曲线：
（为实常数）上任意一点，点处切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）A．
B．
　 C．[0，
]∪
D．[0，
]∪

10.
是
的导函数，
的图象如右图所示，则
的图象只可能是（ ）

11．如图，正方体
的棱长为，点
在棱
上，

且
，点是平面
上的动点，且动点到直线
的距

离与点到点
的距离的平方差为，则动点的轨迹是（ ）

A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线

二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13.正四棱锥
的所有棱长相等，为
的中点，那么异面直

线
与
所成角的余弦值等于 ．

14.过点
作斜率为
的直线与椭圆：
相交于,，若
是线段
的中点，则椭圆
的离心率为 ．

15．在长方体
中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点
到截面
的距离是 ．

16．已知函数
，若直线
对任意的
都不是曲线
的切线，则的取值范围为 ．

三．解答题（本大题共6小题，共70分．必须写出相应的文字说明、过程或步骤）

17.（本题满分10分）

已知:命题
；命题

.求使命题

为假时实数的取值范围.

18.（本题满分12分）如图，在直三棱柱
中，平面
侧面
且
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若直线
与平面
所成的角为
,求锐二面角
的大小.

19．（本题满分12分）已知为实数，函数
．

(Ⅰ) 若
，求函数

在
上的最大值和最小值；

(Ⅱ)若函数
的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围．

20.（本题满分12分）抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线
，一光源在点
处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点
，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线
上的点，再反射后又射回点
设
两点的坐标分别是
，

(Ⅰ)证明：
;

(Ⅱ)求抛物线方程.

21．（本题满分12分）已知椭圆
经过点
，离心率为
．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)直线
与椭圆
交于
两点，点
是椭圆
的右顶点．直线
与直线
分别与轴交于点
，试问以线段
为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

22．（本题满分12分）已知函数
在
是增函数，
在
为减函数．

（Ⅰ）求
的表达式；

（Ⅱ）求证：当
时，方程
有唯一解；

（Ⅲ）当
时，若
在
内恒成立，求的取值范围．

2014-2015学年第二学期高二开学调研数学试题（理科）

参考答案及评分标准

一、选择题

11.提示：过点作平面
的垂线
，垂足为
，在平面
上过
作
的垂线
，垂足为
，连接
，由三垂线定理知：
，线段
的长即为点到直线
的距离 ，
,过
点在平面
上作
，垂足为
，连接
，

则
平面
，


,又点是平面
上的动点，由抛物线的定义知轨迹为抛物线，选B．

填空题

解答题

17.解：当为真命题时：
；……2分

当为真命题时：设

此时
∴
；…………………3分

当≥0时,由
，
解得
…4分，综上可得
.……5分

①当真假时,
，②当假真时,
…9分

∴当的取值范围为
时,命题
中有且只有一个为真命题.………………10分

(Ⅱ) 解法一：连接
，由（1）可知
，则
是
在
内的射影∴
即为直线
与
所成的角，则
………7分

在等腰直角
中，
，且点是
中点，

∴
，且
，
∴
………8分

过点作
于点，连
，由（1）知
，则
，且

∴
即为二面角
的一个平面角………9分

且直角
中：
，又
，

∴
，………11分.又二面角
为锐二面角

∴
，即二面角
的大小为
----12分

解法二（向量法）略.

(Ⅱ) ∵
，∴
．

∵函数
的图象上有与轴平行的切线，∴
有实数解．……………………10分

∴
，∴
，即
．

因此，所求实数的取值范围是
． ……………………12分

20.解（Ⅰ）由抛物线的光学性质及题意知光线
必过抛物线的焦点
，………………2分

设
，代入抛物线方程得：
，………4分
………6分

（Ⅱ）由题意知
，设点M关于直线
的对称点为
，则有：

，…………………8分

由
共线且平行于轴得
，…………………9分

又
三点共线，
即
．抛物线方程为
．…12分

21.解：（Ⅰ）由题意得
，解得
，
．椭圆
的方程是
．…4分

22.解：（Ⅰ）
，
在
上恒成立，∴
，∴
．………2分

又
，
在
上恒成立，∴
，∴
．…………………4分

∴
∴
…………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，方程为
，即
．

设
，由
， ………………6分

令
，∵
，∴
，解得
．

令
，∵
，∴
，解得
． ……8分

递增区间为
，递减区间为
即
在
处有一个最小值
，即当
且
时，
，∴
只有一个解．所以当
时，方程
有唯一解．…9分