2014～2015学年封丘一中高二上学期期末考试数 学 试 题(理科)

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．以下说法错误的是（ ）

A．命题“若x2－3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x+2≠0

B．“x=1”是“x2－3x+2=0”的充分不必要条件

C．若pq为假命题，则p、q均为假命题

D．若命题p： x
R，使得x
+ x
+1＜0，则
：
，则x2+x+1≥0

2．在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若a2+b2=
ab+c2，则角C为（ ）

A．30° B．45° C．150° D．135°

3．不等式ax2－2x+1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是（ ）

A．a＜1 B．a＜0 C．0＜a＜1 D．a≤1

4．等差数列公差不为0，首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项和为（ ）

A．90 B．100 C．145 D．190

5．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=AA1=2，

∠ACB=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，当二面

角C1－AA1－B为45°时，直线EF和BC1所成的角为（ ）

A．45° B．60°

C．90° D．120°

6．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=
a，则
=（ ）

A．2
B．2
C．
D．

7．已知m是△ABC内一点，且
·
=2
，∠BAC=30°，若△MBC、△MCA、

△MAB的面积分别为
、x、y，则
的最小值为（ ）

A．20 B．19 C．16 D．18

8．等差数列
中，S15＞0，S16＜0，则使an＞0成立的n的最大值为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

9．若直线不平行于平面，且，则（ ）

A．内的所有直线与异面 B．内不存在与平行的直线

C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交

10．在△ABC 中，若a=2bcosC，则△ABC 是（ ）

A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三解形 D．直角三角形

11．已知点M是x2=4y上一点，F为抛物线的焦点，

A在圆C：（x－1）2+(y－5)2=1上，则
+
的最小值为（ ）

A．3 B．5 C．8 D．10

12．设椭圆C：
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，P F2⊥F1F2，∠P F1F2=30°,则C的离心率为（ ）．

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知ABCD为正方形，点P为平面ABCD外一点，平面PCD⊥平面ABCD，PD=AD=2=PC，则点C到平面PAB的距离为 .

14．已知数列
为等比数列，且a1a13+2a
=4，则tan(a2a12)= .

15．在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量
在向量
方向上的投影是 .

16．过双曲线
=1（a＞0）右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 .

三、解答题（共70分）

17．（10分）已知不等式ax2－3x+6＞4的解集为
x＜1或x＞
.

(1)求a、b；

(2)解不等式ax2－(ac+b)x+bc＜0(cR)

18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

已知cosC+(cosA－
sinA)cosB=0.

(1)求角B的大小；

(2)若a+c=1，求b的取值范围.

19．（12分）已知各项均为正数的数列
，满足a1=1，a
－a
=2(nN*)

(1)求数列
的通项公式；

(2)求数列
的前n项和.

20.(12分)已知p:
＞2，q:
＞0，r：(x－a)(x―a―1) ＜0.

(1) p是q的什么条件？

(2)若r是p的必要非充分条件，求实数a的取值范围.

21．（12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠DAB=135°，BC=2
，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点.

(1)求证：SD∥平面CFA；

(2)求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值.

22.(12分)已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的离心率为
，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1B2，且MB1⊥MB2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点，试问x轴上是否存在异于M的定点p，使PM平分∠APB？若存在，求出点p的坐标，若不存在，说明理由.

高二期末数学答案

一、选择题

1—5 CBDBC 6—10 DDCBB 11—12 BD

二、填空题

二、13
14.
15－
16（
，
）

三、解答题（70分）

17．解（1）原不等式可化为ax2－3x+2＞0

由题意知x=1是方程ax2－3x+2=0的根 ∴ a=1

∴x2－3x+2＞0 ∴x＜1或x＞2 故b=2…………5分

（2）由(1)可知原不等式可化为x－(c+2)x+2c＜0 (x－c)(x－2) ＜0

①当c＞2，2＜x＜c

②当c=2，x

③当c＜2，c＜x＜2

综上，当c＜2时，原不等式的解集为
c＜x＜
，当c=2时，原不等式解集为
，当c＞2时，原不等式解集为
2＜x＜
.

18．解：(1)∵cosC+(cosA－
sinA)cosB=0

∴－(cosAcosB－sinAsinB)+ cosAcosB－
sinAsinB=0

∴sinAsinB－
sinAcosB=0

∵sinA≠0 ∴tanB=
∴0＜B＜ ∵B=
……………………6分

(2)b2=a2+c2-2acosB

=(a+c)2-2ac-2ac·

=1-3ac≥1-3(
)2=

∴
≤b2＜1 ∴
≤b＜1………………12分

19、(1) ∵a1=1 a
－a
=2(n
)

∴a
=1+(n－1)·2=2n-1

∵a
＞0

∴a
=
(n
)…………5分

(2)由(1)知a
=
，∴
=

∴S
=
+
+
+…+
①

则
S
=
+
+
+…+
②

①－②得，
S
=
+
+
+…+
－

=
+2[
]－

=
－

∴S
=3-
(n
)……………………12分

20．(1)p:
＞2
x＜
或x＞2

q:
＞0

＞0
x＞2或x＜-1

∴p:
≤x≤2 q:－1≤x≤2

∵p
q ，但q

p

∴p是q的充分不必要条件

(2)r:(x-a)(x-a-1) ＜0
a＜x＜a+1

∴r:x≥a+1或x≤a

∵r是p的必要不充分条件

∴a≥2或a+1≤
即a≥2或a≤-

故a的取值范围是（－，－
]
[2，+]

21、(1)连结BD
AC=E 连结EF

∵ABCD是平行四边形

∴BE=ED 又F是SB的中点

∴EF∥SD

又EF面CFA，SD面CFA

∴SD∥面CFA…………6分

(2)取BC中点O，连OS、OA

∵SB=SC ∴SO⊥BC 又面SBC⊥面ABCD

∴SO⊥面ABCD

在△ABC中，AB=2 ∠ABC=45°BC=2

由余弦定理，得AC=2

∴∠BAC=90°又AB=AC

∴AO⊥BC建立如图所示坐标系.

则A(
，0，0) B（0，－
，0） S（0，0，
）

C(0,
,0) D(
,2
,0)

设面SAB的法向量为
=（x
,y
,z
）

由
·
=0 －
x
－
y
=0

得

·
=0 －
y
－
z
=0

取z
=－1，得
=(－1,1,－1)

设面SCD的法向量为
=(x
，y
，z
)

同理可得
=(－1,1,1)

∴cos＜
，
＞=
=

故面SCD与面SAB所成锐二面角的余弦值为

22、解：(1)由e
=
=1－
=
的

又∵△MB
B
是等腰直角三角形，∴b=2 ,a=3

故椭圆C的方程为
=1…………5分

(2)设AB的方程为x=my+2代入
=1得

(4m
+9)y
+16my－20=0

∴y
+y
=
y
y
=
…………8分

若PM平分∠APB，则直线PA、PB倾斜角互补

∴KpA+KpB=0 设p(n，0)

则有
=0…………10分

把x
=my
+2,x
=my
+2代入上式，得

2my
y
+(2－n)(y
+y
)=0

∴2m·
+(2-n)

即（－2n+9）m=0

由于上式对任意实数m都成立，∴n=

综上，存在定点p(
，0)，使pM平分∠APB…………12分