2014—2015学年度第一学期期末抽测

高二数学（理）试题参考答案

一、填空题：

1．
2．
，
3．
4．
5．
6．

7．3 8．1 9．1 10．
11．
12．或
13．
14．

二、解答题:

16．⑴因为
，
，
，所以
，
，

所以
，又
，所以
是等腰直角三角形， ………………3分

⑵由⑴可知，
的圆心是
的中点，所以
，半径为，

所以
的方程为
．………………………………………………6分

⑶因为圆的半径为，当直线截圆的弦长为
时，

圆心到直线的距离为
．……………………………………………………8分

①当直线与轴垂直时，方程为
，与圆心
的距离为，满足条件； 10分

②当直线的斜率存在时，设：
，

因为圆心到直线
的距离为
，解得
，

此时直线的方程为
．

综上可知，直线的方程为

或
．…………………………………14分

17．以
为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
，设
，

则
，
，
，
．…………………………………………2分

⑴当点为
中点时，
，
，
，
，
，

所以
，所以异面直线
与
所成角余弦为
．…………8分

⑵取
中点
，由题意知
，
，所以
是二面角
的平面角，因为
，
，
，
，10分

所以
，两边平方整理得
，所以
．

因为在棱
上，
，所以
， 所以
的长为
．…14分

19．⑴由
得
所以椭圆的方程为
．…………………2分

⑵①因为
，
，
，所以
的方程为
，代入
，

，即
，

因为
，所以
，则
，所以点的坐标为
．……………6分

同理可得点
的坐标为
．…………………………………………………………8分

20．⑴
时，
，
，令
，得
，解得
．

所以函数
的单调增区间为
．…………………………………………………2分

⑵由题意
对
恒成立，因为
时，
， 所以
对
恒成立．记
，因为
对
恒成立，当且仅当
时
，所以
在
上是增函数，

所以
，因此
．……………………………………………………6分

⑶ 因为
，由
，得
或
（舍）．

可证
对任意
恒成立，所以
，

因为
，所以
，由于等号不能同时成立，所以
，于是
．

当
时，
，
在
上是单调减函数；

当
时，
，
在
上是单调增函数．

所以
，………………………………8分

记
，
，以下证明当
时，
．

，记
，
对
恒成立，

所以
在
上单调减函数，
，
，所以
，使
，

当
时，
，
在
上是单调增函数；当
时，
，
在
上是单调减函数．又
，所以
对
恒成立，

即
对
恒成立，所以
．………………16分