江苏省如东高级中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学（理）试题

时间:120分钟 分值:160分

一、 填空题：

1．若复数满足方程
，则Z=_____________

2 从5名同学中选出正副组长各1名，有 种不同的选法．

3． 设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于_____________

4．曲线y=
x5+3x2+4x在x=－1处的切线的倾斜角是_____________

5．函数f(x)=x3－ax2－bx+a2在x=1时,有极值10,则a、b的值为____________

6．函数y=x2(－
≤x≤
)图象上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是 _____________

7．函数f(x)=x3－3x+1,x∈［－3,0］的最小值是_________

8． 曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为_________

9．设复数
（为虚数单位），则的虚部是 ________

10．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个。

11．平面内有n条直线，任两条直线不平行，任三条直线不共点，它们把平面划分成f（n）个互不相交的区域，则f（n）的表达式是　 　（用n表示）．

12．在△ABC中，若AB⊥AC，AC=b，AC=a，则△ABC的外接圆半径
，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S﹣ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体S﹣ABC的外接球半径R=　 　．

13．利用数学归纳法证明“
”，从n=k推导n=k+1时原等式的左边应增加的项是　 　

14若关于x的方程kx+1=lnx有解，则实数k的取值范围是　．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分））用数学归纳法证明：

16．(!4分)已知复数
，
，为虚数单位．

（1）若复数
对应的点在第四象限，求实数的取值范围；

（2）若
，求的共轭复数
．

17．（15分）己知下列三个方程 x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．

18．(15分)4个男同学和3个女同学站成一排，（1）甲乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？

(2)甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？（3）女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（3个女生身高互不相等）

19．（16分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为6x﹣2y﹣1=0，f′（x）为f（x）的导函数，g（x）=a?ex（a，b，c∈R）．

（1）求b，c的值；

（2）若存在x0∈（0，2]，使g（x0）=f′（x0）成立，求a的范围．

20.(16分)已知
，
，其中是自然对数的底数，

（1）当
时，求
的极值；

（2）当
时，求证：
；

（3）是否存在实数，使
最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

答 案

1．±
i. 2。20 3 a=
.。4． α=
π. 5

6 0≤α≤
或
≤α＜π 7． f(x)min=－17 8． y+1=－3（x－1） 9． -1

10．192 11. ：
12．
13．

14．
　

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）用数学归纳法证明：
．

考点：

数学归纳法．



专题：

证明题．



分析：

先证明n=1时，结论成立，再设当n=k（k∈N*）时，等式成立，利用假设证明n=k+1时，等式成立即可．



解答：

证明：（1）当n=1时，左边=1×2×3=6，右边=
=左边，∴等式成立．

（2）设当n=k（k∈N*）时，等式成立，

即
．

则当n=k+1时，

左边=1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）

∴n=k+1时，等式成立．

由（1）、（2）可知，原等式对于任意n∈N*成立．



点评：

本题考查数学归纳法证明等式问题，证题的关键是利用归纳假设证明n=k+1时，等式成立，属于中档题．



　

16．
z=-1+i

17．（15分）己知下列三个方程 x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．

考点：

反证法与放缩法．



专题：

计算题．



分析：

至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程 x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围．此种方法称为反证法



解答：

解：假设没有一个方程有实数根，则：

16a2﹣4（3﹣4a）＜0（1）

（a﹣1）2﹣4a2＜0（2）

4a2+8a＜0（3）（5分）

解之得：
＜a＜﹣1（10分）

故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥﹣1或a≤
}．



点评：

本题考查反证法，解题时要合理地运用反证法的思想灵活转化问题，以达到简化解题的目的，在求解如本题这类存在性问题时，若发现正面的求解分类较繁，而其对立面情况较少，不妨如本题采取求其反而成立时的参数的取值范围，然后求此范围的补集，即得所求范围，本题中三个方程都是一元二次方程，故求解时注意根的判别式的运用．



18．（1）甲乙两人先排好，有
种排法，再从余下的5人中选3人排在甲乙两人中间，有
种排法；这时把已排好的5人看作一个整体，与最后剩下得2人再排，又有
种排法这时共有
种不同排法。

（2）．先排甲、乙和丙3人以外的其他4人有
种排法，由于甲乙要相邻，故再把甲、乙排好，有
种排法，最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中，有
种排法，共有
=960（种）不同排法。

（3）．从7个位置中选出4个位置把男生排好，有
种排法；然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按高矮排列，故仅有一种排法，共有
（种）不同排法。

19．（16分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为6x﹣2y﹣1=0，f′（x）为f（x）的导函数，g（x）=a?ex（a，b，c∈R）．

（1）求b，c的值；

（2）若存在x0∈（0，2]，使g（x0）=f′（x0）成立，求a的范围．

考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算；利用导数研究函数的极值．



专题：

综合题．



分析：

（1）由f′（x）=3x2+2bx+c，知f（x）在x=1处的切线方程为y=（3+2b+c）x﹣2﹣b，故
，由此能求出f（x）．

（2）若存在x0∈（0，2]使
成立，即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，故
，令
，则
=﹣
，由此能求出a的取值范围．



解答：

解：（1）∵f′（x）=3x2+2bx+c，

∴f（x）在x=1处的切线方程为y﹣（1+b+c）=（3+2b+c）（x﹣1），

即y=（3+2b+c）x﹣2﹣b，

∴
，即
，

∴
．

（2）若存在x0∈（0，2]使
成立，

即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，

∴a?ex=3x2﹣3x+3，

∴
，

令
，

∴

=

=﹣
，

令h′（x）=0，得x1=1，x2=2，列表讨论：

x

 （0，1）

 1

 （1，2）

 2



 h′（x）

﹣

 0

+

 0



 h（x）

↓

 极小值

↑

 极大值



∴h（x）有极小值h（1）=
，h（x）有极大值h（2）=
，

且当x→0时，h（x）→3＞
，

∴a的取值范围是
．



点评：

本题考查实数值和实数取值范围的求法，具体涉及到导数的应用、函数极值的求法和应用、切线方程的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．



　

20．

（舍去）所以，此时
无最小值

②当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增

，满足条件

③当
时，
在
上单调递减，

（舍去）所以，此时
无最小值

综上，存在实数
，使
最小值是3。