甘肃省高台县第一中学2014年春学期期中考试

高 二 数 学（理科）试卷

一、选择题：（15小题，每小题4分，共60分。）

1．在等差数列
中，若
，则
( )

A．45 B．75 C．180 D．320

2．已知各项均为正数的等比数列{an}中, a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=

A．5
B．7 C．6 D．4
(　　)

3．复数
的模为 A．
B．
C．
D． (　　)

4．二项式
的展开式中
的系数是 ( )

A．84 B．-84 C．126 D．-126

5．函数
的定义域为开区间
，导函数
在
内的图像如图所示，则函数
在开区间
内有极小值点 （ ）

A．1个 B．个

C．
个 D．个

6．函数
处的切线方程是 A．
B．
C．
D．
(　　)

7．若
则
的大小关系为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．函数
在区间
上的最大值和最小值分别为 (　　)

A.
B.
C.
D.

9．用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 (　　)

A．324 B．648 C．328 D．360

10．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有 ( )

A．35种 B．16种 C．20种 D．25种

11．若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 (　　)

A．a2+b2>2ab B．a+b≥2
C．
+
>
D．
+
≥2

12．已知
有下列各式：
，
成立，观察上面各式，按此规律若
，则正数
( )

A．4 B．5 C．
D．

13．甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法为

A．72 B．36 C．52 D．24 (　　)

14.用数学归纳法证明“42n-1＋3n+1(n∈N*)能被13整除”的第二步中，当n=k＋1时为了使用归纳假设，对42k+1＋3k+2变形正确的是　　　　　　 　(　 )

　 A．16(42k-1＋3k+1)-13×3k+1　　　　　　　 　B．4×42k＋9×3k

　 C．(42k-1＋3k+1)＋15×42k-1＋2×3k+1　　　　　 D．3(42k-1＋3k+1)-13×42k-1

15．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)> 0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是 ( )

A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)

二、填空题：（5小题，每小题4分，共20分。请将正确答案填在答题卡上。）

16．a，b∈R，a＋bi＝(1＋2i)(1－i) (i为虚数单位)，则a＋b的值为 ．

17．已知－7，
，
，－1四个实数成等差数列，－4，
，
，
，－1五个实数成等比数列，则
= .

18．
的展开式中的常数项为____________．

19．给出下列等式：
， 请从中归纳出第
个等式：
= ；

20．已知函数
，当
时，给出下列几个结论：

①
；②
；

③
;④当
时，
.

其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）．

三．解答题（6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案过程写在答题卡上）。

21．记
的展开式中，的系数为
，
的系数为
,其中

(1)求
（2）是否存在常数p,q(p

22．已知
，且
，求
的最小值．

23．已知
为正项等比数列，
，
，
为等差数列
的前

项和，
，
.

（1）求
和
的通项公式；

（2）设
，求
.

24．定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有
．

（1）试问函数f（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由并加以证明．

（2）若
对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

25．已知函数
，
.

（1）求的取值范围，使
在闭区间
上是单调函数；

（2）当
时，函数
的最大值是关于的函数
.求
；

（3）求实数的取值范围，使得对任意的
，恒有
成立.

26．已知函数
对任意
都满足
，且
，数列
满足：
，
.

（Ⅰ）求
及
的值;

（Ⅱ）求数列
的通项公式;

（Ⅲ）若
，试问数列
是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.

高二数学（理）期中考试参考答案

1-15CABBA DBACD DCBAD

16、8 17、-1 18、-5 19、
20．③④

21．（1）
，（2）p=-2，q=-1.

（1）根据多项式乘法运算法则，得
；

（2）计算得
，

代入
，解得p=-2，q=-1，

下面用数学归纳法证明
，

①当n=2时，b2=
，结论成立；

②设n=k时成立，即
，

则当n=k+1时，

bk+1=bk+
，

由①②可得结论成立.

22．1.

解析：
,
,

,

， 当且仅当
，或
时

的最小值是1.

23．（1）
，
；（2）
.

24．试题解析：解：（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，

则A、B两点的纵坐标相同，设它们的横坐标分别为 x1 和x2，且x1＜x2．

则f（x1）﹣f（x2）=f（x1 ）+f（﹣x2）=
[x1+（﹣x2）]．

由于
＞0，且[x1+（﹣x2）]＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

故函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数．

这与假设矛盾，故假设不成立，即 函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直．

（2）由于
对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，

∴故函数f（x）的最大值小于或等于2（m2+2am+1）．

由于由（1）可得，函数f（x）是[﹣1，1]的增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）=2，

∴2（m2+2am+1）≥2，即 m2+2am≥0．

令关于a的一次函数g（a）=m2+2am，则有
，

解得 m≤﹣2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范围是{m|m≤﹣2，或m≥2，或 m=0}．



25.解：（1）函数
图像的对称轴为
.

因为
在闭区间
上是单调函数，所以
或
.

故
或
.

（2）当
即
时

当
即
时

（3）
在
时恒成立

在
时恒成立

在
时恒成立

时显然成立

时，
在
时恒成立

26. 解：（Ⅰ）在
中，取
，得
，

在
中，取
，得
， 2分

（Ⅱ）在
中，令
，
，

得
，即
.

所以
是等差数列，公差为2，又首项
，所以
,
. 6分

（Ⅲ）数列
存在最大项和最小项

令
，则
，

显然
，又因为
，

所以当
，即
时，
的最大项为
.

当
，即
时，
的最小项为
. 12分