2013年秋期高中二年级期末质量评估

数学试题（理）答案

（2）当
时，不等式可化为
，即

，

当
时，解集为

当
时，解集为

当
时，解集为
----------------10分

由题得，
∴-y1=2y2

，①

，②

将①代入②得，
，∴

∴直线AB的方程为
或者
---12分

法（二）

如图，依题设
，

则

Rt△ABC中

，又
，故直线AB斜率
，根据对称性易知
也合题意，故所求直线方程为
或者
.------------12分

19. 解：（1）
得

由
及正弦定理得

于是

． ----------------------------------------------6分

（2）由
得
，由
可得
，即
，由余弦定理
得
，
，

．-------------------------------------12分

法二：由①知
，
，

---------12分

20. 解：（1）依题意，
，即
，

由此得
．------------------------------4分

因此，所求通项公式为

，
．①--------------------6分

（2）由①知
，
，

于是，当
时，

，

-------------------------------12分

21.（1）证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中，

由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.------------4分

（2）以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

所以

设
分别为平面EAC与DAC的法向量，则

，令
，得
，又由（1）知，

，

由题，
，

即以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小为
.----8分

（3）由（2）

设点F是棱PC上的点，
则

令

得，

，

即F是PC的中点，

又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.

----------------------------------------------------12分

22. 解：（1）由题
，又
，
，

------------------------------------------3分

（2）设椭圆
：
，
，
，
中点
，则

①
②

①②，整理得，
，

又由（1）知，
，
，

又
与
垂直，

注意到
中点
在
上，
，

，
方程为：
，即
，

它与轴的交点为
，即
又
，
，

椭圆
的方程为：
.------------------------7分

（3）由条件知直线
的斜率存在，设直线
为：
，代入

，整理得，
，

设
,则
，

令
（由
知
），得