信阳市2013~2014学年度高二上期期末

数学试卷参考答案(文科)

1．D ∵(x－2)(x－3)＞0，∴x＞3或x＜2.

2．C 綈p：?x>1，x2－1≤0.

3．B 由前15项和S15＝＝6可得a1＋a15＝，即2a8＝，故a8＝.

4．A f′(x)＝cos x－sin x，f′()＝－.

5．C ∵抛物线过点(1，4)，∴4＝2a，∴a＝2，∴抛物线方程为x2＝y，焦点坐标为(0，)．

6．A 由已知得a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，故C＝.

7．A 由题得c＝5，又点P在渐近线上，∴a＝2b，且a2＋b2＝25，

∴b2＝5，a2＝20.

8．A 设P(x0，y0)，∵y＝ex，∴y′＝ex，∴y′|x＝x0＝ex0＝e，∴x0＝1，∴P(1，e)．

9．C 画出可行域，可知z＝x＋y＋2在x－y－1＝0与2x＋y＋1＝0的交点(0，－1)处取到最小值，∴zmin＝0－1＋2＝1.

10．D ∵角A、B、C成等差数列，∴解得B＝.

由＝，可得sin A＝，∵b＞a，∴A＜，∴A＝，从而C＝π－－＝，

∴S△ABC＝ab＝.

11．A 设等比数列的公比为q，由an＋an＋1＝6an－1知，当n＝2时a2＋a3＝6a1，再由数列{an}为正项等比数列，且a2＝1，得1＋q＝?q2＋q－6＝0?q＝－3或q＝2.∵q＞0，∴q＝2，∴S4＝＋1＋2＋4＝.

12．B 由f(e－x)＝f(x＋e)可知f(x)对称轴为x＝e，

(x－e)f′(x)＜0?f(x)在(e，＋∞)上递减，f(x)在(－∞，e)上递增．

又e－1＜e＜π＜5，且π－e＜e－(e－1)＜5－e，所以有f(5)＜f(e－1)＜f(π)，故选B.

13．若x2>4，则x>2.

14．4 ＋＝3≥2?≥2?ab≥4.

15．3x－y－1＝0 ∵y′＝－3x2＋6x，∴y′|x＝1＝－3＋6＝3，

∴切线方程为y－2＝3(x－1)即3x－y－1＝0.

16．(1，2] 因为|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝3|PF2|，所以|PF2|＝a，又因为双曲线的右支上的点P均满足|PF2|≥c－a，所以a≥c－a，得c≤2a，从而1＜e≤2.

17．解：(Ⅰ)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，

∴∴∴an＝2n－2.(6分)

(Ⅱ)∴＝，3q2－4q－4＝0，∴q＝2或－(舍)，b1＝1，

∴Tn＝＝＝2n－1.(12分)

18．解：A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，B＝{x|m－3≤x≤m＋3，x∈R，m∈R}．

(Ⅰ)∵A∩B＝[2，3]，∴m－3＝2，即m＝5.（6分）

(Ⅱ) ∵p是綈q的充分条件， ∴A?RB，

∴m－3>3或m＋3<－1，

解得m>6或m<－4.（12分）

19．解：(Ⅰ)由正弦定理得sin A＝2sin Csin A，

∵A、C是锐角，∴sin C＝，故C＝60°.(6分)

(Ⅱ)S＝absin C＝，∴ab＝6.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，

∴(a＋b)2＝25，∴a＋b＝5.(12分)

20．解：(Ⅰ)由题意知，f′(x)＝3ax2＋b，

即∴(6分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，

令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.

当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；

x∈（－2，2）时，f′(x)＜0，故f(x)在（－2，2）上为减函数；

x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．

∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，

在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16，

∴16＋c＝28，c＝12.

此时f(－3)＝21，f(3)＝3，f(2)＝－4，

∴f(x)在[－3，3]上的最小值为f(2)＝－4.(12分)

21．解：(Ⅰ)设M(x0，y0)，圆M的半径为r，

依题意得x0＝c＝r＝|y0|.

将x0＝c代入椭圆方程得：|y0|＝，所以＝c.

又b2＝a2－c2，从而得c2＋ac－a2＝0，两边除以a2得：e2＋e－1＝0，

解得e＝，因为e∈(0，1)，所以e＝.（6分）

(Ⅱ)因为△ABM是边长为2的正三角形，所以圆M的半径r＝2，M到y轴的距离d＝，

又由(Ⅰ)知：r＝，d＝c，

所以c＝，＝2.

又因为a2－b2＝c2，解得a＝3，b2＝2a＝6，所求椭圆方程是＋＝1.（12分）

22．解：(Ⅰ)∵a＝1，∴f(x)＝xex－x(x＋1)＋2＝xex－x2－x＋2，

∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，所以当－1

当x<－1或x>0时，f′(x)>0，

所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增．(6分)

(Ⅱ)由f(x)≥x2－x＋2，得x(ex－x)≥0，即要满足ex≥x，

当x＝0时，显然成立；当x>0时，即≥，记g(x)＝，则g′(x)＝，

所以易知g(x)的最小值为g(1)＝e，所以≤e，得a≤2(e－1)．(12分)