三明市A片区高中联盟校2015－2016学年第一学期阶段性考试

高一数学试卷

第Ⅰ卷

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)

1．求值：
＝ (　　)

A．tan 38° B．
C．
D．－

2．若tan α＜0，则 (　　)

A．sin α＜0　 B．cos α＜0

C．sin α·cosα＜0　 D．sin α－cos α＜0

3．函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为 (　　)

A．[1，＋∞)　　 B．(1，＋∞) C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)

4．下面各组函数中为相同函数的是 (　　)

A．f(x)＝
，g(x)＝x－1

B．f(x)＝
，g(x)＝

C．f(x)＝ln ex与g(x)＝eln x

D．

已知集合
，
，若
，则实数
的范围是 (　　)

A．
　　 B．
　　 　C．
　　 　 D．
[:.]

6．实数a＝
，b＝log
，c＝(
)0.2的大小关系正确的是 (　　)　

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a

7．向高为H的水瓶中均速注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系式如图所示，那么水瓶的形状是 (　　)

8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若
＝2
，
＝

＋λ
，则λ等于 (　　)

A．
　　　　　B．
　　　　　C．－
　　　　　D．－

9．为了得到函数y＝
sin 3x的图象，可以将函数y＝

的图象

(　　)

A．向右平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向左平移
个单位

10．设sin(
＋
)＝
，则sin 2θ＝ (　　)

A．－
　　　 　 B．－
　　　 　C．
　　　 　D．

11．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是 (　　)

A．a<1

C．1

如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M．将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为 (　　)

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．已知函数f(x)＝xm过点(2，
)，则m＝＿＿＿；

14．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，

f(x)＝
则
＝________；

15．已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f(1－m)＋f(1－2m)<0的实数m的取值范围是＿＿＿＿；

16．对于集合M，定义函数fM(x)＝
对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A*B的结果为＿＿＿＿＿＿＿＿．

三．解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

(1)计算：
＋lne－
＋
＋log62＋log63；

(2)已知向量
＝
，
＝
，满足
，其中
，求
　的值．

18．(本小题满分12分)　

已知向量
，
满足|
|＝1，|
|＝2，
与
的夹角为120°．

(1) 求
及

＋

；

(2)设向量
＋
与
－
的夹角为θ，求cosθ的值．

19．(本小题满分12分)　

已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)．

(1)若函数y＝f(x)的零点为－1和1，求实数b，c的值；

(2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b的取值范围．

20．(本小题满分12分)　

已知
，
，设函数
.

(1)写出函数
的周期，并求函数
的单调递增区间；

(2)求
在区间
上的最大值和最小值.

21．(本小题满分12分)

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足
＝f(x1)－f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)若当x>1时，有f(x)<0．求证：f(x)为单调递减函数；

(3)在(2)的条件下，若f(5)＝－1，求f(x)在[3，25]上的最小值．

22．(本小题满分14分)　

已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)．

(1)当a=1时，求f(x)的最小值；

(2)当f(x)有最小值时，求a的取值范围；

(3)若函数h(x)＝f(sinx)－2存在零点，求a的取值范围．

三明市A片区高中联盟校2015－2016学年第一学期阶段性考试

高一数学参考答案及评分标准

一、选择题：

1．C； 　2．C；　 3．D；　 4．D；　 5．B；　 6．C；

7．B；　 8．A； 　9．A；　 10．A；　 11．A；　 12．B；

二、填空题：

13．－1；　 14．1；　 15．[－
，
)；　 16．{1，6，10，12}．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

解析：(1)原式＝1＋1－5＋2＋1＝0；　　　　　 　 ………………………6分

(2)∵
，
＝
，
＝
，

∴
＝-2
，　　　　　 ①　　　　　　 ………………………9分

又
＋
＝1，　　　　②

由①②解得
＝
，　　　　　　　　 ………………………11分

∵
，∴
＝－
．　　　　　 ………………………12分

18．(本小题满分12分)　

解析：(1)
·
＝|
||
|cos 120°θ＝1×2×(－
)＝－1， ………………………2分

所以|
＋
|2＝(
＋
)2＝
2＋
2＋2
·
＝12＋22＋2×(－1)＝3.

所以|
＋
|＝
. ………………………4分

(2)同理可求得|
－
|＝
. ………………………6分

因为(
＋
)·(
－
)＝
2－
2＝12－22＝－3， ………………………9分

所以cosθ＝
＝
＝－
．

所以向量
＋
与
－
的夹角的余弦值为－
．　　……………………12分

19．(本小题满分12分)　

解：(1) 函数y＝f(x)的零点为－1和1．由根与系数的关系，得

即
所以b＝0，c＝－1.　　　 ………………………5分

(2)由题意可知，f(1)＝1＋2b＋c＝0，所以c＝－1－2b.　　 ………………………6分

记g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c＝x2＋(2b＋1)x－b－1，

因为关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，

所以有
　解得
，

即实数b的取值范围为(
)．　　　　　　 ………………………12分

20．(本小题满分12分)　

解析：（1）由已知得
＝
，　　　　　………………………1分

＝

＝

＝
[:]

∴
，　　　　　 ………………………4分

∴函数的周期为
，　　　　　　　 ………………………5分

由
(k∈Z)解得
，

∴f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)；　 …………………7分

(2)由(1)知
，

当
时，
，　………………………9分

所以，
，

故
在区间
上的最大值和最小值分别为1和-
.　　……………12分

21．(本小题满分12分)

解：(1)令x1＝x2>0，

代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，

故f(1)＝0.　　　　　　　　　　　　………………………4分

(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则
>1，

由于当x>1时，f(x)<0，所以
<0，

即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．………………………8分

(3)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，

所以f(x)在[3，25]上的最小值为f(25)．

由
＝f(x1)－f(x2)得，

f(5)＝
，而f(5)＝－1，

所以f(25)＝－2.

即f(x)在[3，25]上的最小值为－2.　　　　　　　　………………………12分

22．(本小题满分14分)　

解：(1)当a=1时

……………………2分

所以，
在
递减，在
递增，

故最小值为
　 　 ………………………4分

（2）
　 ………………6分

要使函数f(x)有最小值，需
∴－2≤a≤2，…………………8分

故a的取值范围为[－2，2]．　　　　　　　　　　　　　………………………9分

(3)∵sinx∈[－1，1]，∴f(sinx)＝(a－2)sinx＋4，　

“h(x)＝f(sinx)－2＝(a－2)sinx＋2存在零点”等价于“方程(a－2)sinx＋2＝0有解”，

亦即
有解，∴
，　　　 ………………………11分

解得
或
，　　　　　　　　　　　　　 ………………………13分

∴a的取值范围为
　　　　　　　 ………………………14分

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