2014—2015学年度上学期期末考试高一年级数学科试卷答案

命题学校：东北育才学校 命题人：刘新风 校对人： 牟新

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、C 2、B 3、A 4、B 5、A 6、D 7、D 8、C 9、C 10、D 11、B 12、A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13、
14、4 15、
16、

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17.（10分）设全集为
，集合
，
．

（1）求
；

已知
，若
，求实数的取值范围．

解（1）
??
?

? ??????????

?
? ……………… 4分

（2） ①当
，即
时，
，成立；

②当
，即
时，

得

?.????????????

???? 综上所述，的取值范围为
．?? ……………… 10分?

18. 如图所示，射线
分别与轴正半轴成
和
角，过点
作直线
分别交
于
两点，当
的中点
恰好落在直线
上时，求直线
的方程．

解：由题意可得
，
，所以直线
的方程

为
，直线
的方程为
.设A(m，m)，

B(－
n，n)，所以AB的中点C的坐标为
，由点
在
直线上，且A、P、B三点共线得

解得
， ………… 8分?

所以
．又
，所以
所以直线AB的方程为
，

即
. ………… 12分?

19．如图，在正方体
中，
分别是棱
的中点．

(1) 求证：

(2) 是否存在过
两点且与平面
平行的平面？

若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．

（1) 证明：在正方形ABB1A1中，E、F分别是棱A1B1、AA1的中点，

∴
，∴
∴
，∴
.在正方体
中，

…………5分

(2) 解：如图，在棱
上取点
，且
，连接
则

存在平面
，使平面
………… 7分?

证明：取
的中点
，连接

∵
分别是
的中点，

∴四边形
是平行四边形．

同理可证

………………12分

20.因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一游泳池中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在游泳池中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放
个单位的药剂, 它在水中释放的浓度 (克/升)随着时间 (天)
变化的函数关系式近似为
,其中
若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于3(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.

（Ⅰ）若一次投放3个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?

（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求的最小值.

19、解：（Ⅰ）因为
,所以
………………………………2分

则当
时,由
,解得
,所以此时

当
时,由
解得
,所以此时
…………………4分

综上，得
,若一次投放3个单位的制剂,则有效治污时间可达8天…… 6分

（Ⅱ）当
时,

=
=
,

,则
，而
,所以
,

用定义证明出：

故当且仅当
时,有最小值为
…………………………10分

令
,解得
,

所以的最小值为
……………………………………………12分

21．已知

(1)若
的切线在轴，轴上截距相等，求此切线的方程；

(2)从圆外一点
向圆引切线
为切点，
为原点，若
，求使
取最小值时点坐标．

解：

圆心
，半径

(1)若切线过原点设为
，

则
，∴

若切线不过原点，设为

则
，∴
，

∴切线方程为：
，
…………6分

(2) 由
得
，

∴
，由
几何意义知最小值为

此时设
：
即
，将其与
联立求出此时
…………………12分

22．（本大题满分12分）

对于定义域为的函数
，若同时满足下列条件：

①
在内具有单调性；

②存在区间

，使
在
上的值域为
；

则称
为闭函数.

（Ⅰ）求闭函数
符合条件②的区间
；

（Ⅱ）判断函数
是否为闭函数？并说明理由；

（Ⅲ）若函数
是闭函数，求实数
的取值范围．

解：（1）由题意，
在
上递减，则
解得
，

所以，所求的区间为
………………………………3分

不是

函数
不是闭函数。

取
，则
，

即
。

取
，则
，

，

所以，函数在定义域内不是单调函数，从而该函数不是闭函数。 ．．．．7分

（3）若
是闭函数，则存在区间[
]，在区间[
]上，

函数的值域也为[
]，即
，

为方程
的两个实根，

即方程
有两个不等的实根。

设

当
时，有
，解得
。

当
时，有
，无解

综上所述，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

以上答案及评分标准仅供参考，如用其它解法请酌情给分。