辽宁省大连市2014-2015学年高一上学期期末考试 数学

注意事项：

1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.

2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷 选择题 （共60分）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知点A(－3,1,5)与点B(0,2,3)，则A，B之间的距离为 （　　）

A.
B.
C.
D.

2.集合
，
，且
，则 （ ）

A．
B．
C．
D．

3.
为空间中三条直线，若
，
，则直线
的关系是 （ ）

A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能

4．直线
经过第一、第二、第四象限，则
应满足 （　　）

A．
＞0，
＞0 B．
＞0，
＜0 C．
＜0，
＞0 D．
＜0，
＜0

5. 两条平行线
：3x－4y－1＝0，与
：6x－8y－7＝0间的距离为 （ ）

A.
B.
C.
D．1

6．若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.若
，
，
，则 （ ）

A.
B.
C.
D.

8.若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是 （ ）

A.
B.
C.
D．

9. 已知圆C：
过点P（1,3）作圆C的切线，则切线方程为 （ ）

A.
B.

C.
D．

10．如图所示，已知三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 -ABC1的体积为 （　 　）

A.
　　B.
C.
D.

11.已知函数
构造函数

那么函数
（ ）

A. 有最大值1，最小值
B. 有最小值
，无最大值

C. 有最大值1，无最小值 D．有最大值3，最小值1

12. 若半径均为2的四个球，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，则这个小球的半径为 （ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二．填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上）

13.计算
．

14. 一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其体积为
，则= .

15.已知两圆相交于两点(1,3)和(,1)，两圆圆心都在直线
上，

则
= ．

16. 过点(2,3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线方程为 ．

三．解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.（本小题满分10分）

如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线
上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线
，并且AC＝3，BD＝12，求CD的长．

第17题图

18. (本小题满分12分)

设
，
. (其中为常数)

(1)若
为奇函数，求的值；

(2)若不等式
恒成立，求实数的取值范围.

19. (本小题满分12分)

圆C过点A(6，0),B（1,5），且圆心在直线
上.

(1)求圆C的方程；

(2) P为圆C上的任意一点，定点Q（8,0），求线段PQ中点M的轨迹方程.

20.(本小题满分12分)

如图，菱形ABCD的边长为6， BAD=60
，对角线AC,BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点, DM=
.

求证：（1）OM∥平面ABD；

（2）平面ABC平面MDO.

第20题图

21.(本小题满分12分)

已知函数
(
).

(1)若
，求
的单调区间；

(2)是否存在实数,使
的最小值为0. 若存在, 求出的值; 若不存在, 说明理由．

22．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，点
，直线l：y＝2x－4.

(1)求以点A为圆心，以
为半径的圆与直线
相交所得弦长；

(2)设圆
的半径为1，圆心在
上．若圆
上存在点
，使
，求圆心
的横坐标的取值范围．

2014～2015学年第一学期期末考试答案

高一数学

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题

1.C；2.B；3.D；4.B；5.A；6.D；7.D；8.C；9.A；10.A；11.C；12.B.

12、提示：四个大球两两外切，四个大球的球心连线构成边长为4的正四面体
，小球与四个大球都外切，小球的球心到四个大球的球心的距离为2+r，所以小球的球心为正四面体
的外接球的球心（即为正四面体的中心）。

二．填空题

13. 1；14.2；15.3；16.x=2或4x-3y+1=0.

三．解答题

17．解　连接BC.∵AC⊥
，

∴BC＝＝＝5. ----------------------------3分

又∵BD⊥
，α⊥β，α∩β＝
，

∴BD⊥α. ----------------------------6分

又∵BCα，∴BD⊥BC. ----------------------------8分

∴CD＝＝＝13.

∴CD长为13 cm. ---------------------------10分

18. 解：(1)因为
所以
. ---------------------------4分

（2）

因为
恒成立,

即
恒成立. ----------------------------6分

因为
，所以
. ------------------10分

所以
，即
. -------------------12分

19. 解：（1）解法1：直线AB的斜率
，

所以AB的垂直平分线m的斜率为1. ---------------------------2分

AB的中点的横坐标和纵坐标分别为
.

因此，直线m的方程为
.即
. --------------------4分

又圆心在直线l上，所以圆心是直线m与直线l的交点。联立方程组

解得
--------------------------6分

所以圆心坐标为C（3,2），又半径
，

则所求圆的方程是
. ----------------------------8分

解法2：设所求圆的方程为
.由题意得

----------------------------3分

解得
----------------------------6分

所以所求圆的方程是
. ----------------------------8分

（2）设线段PQ的中点M（x,y），P

M为线段PQ的中点，则
， -----------------------------9分

解得
.

代入圆C中得
，

即线段PQ中点M的轨迹方程为
. -----------12分

21.解：(1)∵f(1)＝1，

∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1， ----------------------------2分

这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3>0得－1

所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．------------------6分

(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，----8分

因此应有 ----------------------------10分

解得a＝.

故存在实数a＝使f(x)的最小值等于0. -------------------12分

22.解：（1）设直线
与圆A相交的弦为线段BC

则圆心到直线
的距离
. ---------------------------2分

由题意知
， ---------------------------4分

解得
. --------------------6分

(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为

设点M(x，y)，因为
,

所以
，化简得
，即
，

所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上． ---------------------------8分

由题意，点M(x，y)在圆C上，所以M 是圆C与圆D的公共点，则|2－1|≤
≤2＋1， 所以
---------------------------10分

即
得

所以点C的横坐标的取值范围为
. ----------------12分