2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）

考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10

一、（本题满分40分）如图，
分别是圆内接四边形
的对角线
的中点．若
，证明：
．

二、（本题满分40分）证明：对任意整数
，存在一个
次多项式

具有如下性质：

（1）
均为正整数；

（2）对任意正整数
，及任意
个互不相同的正整数
，均有

．

三、（本题满分50分）设
是给定的正实数，
．对任意正实数
，满足
的三元数组
的个数记为
．

证明：
．

四、（本题满分50分）设A是一个
的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个
方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个
的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．