第一节 基本原理

排序原理

　　排序原理的思想：在解答数学问题时常常涉步到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，不妨可以将它们按一定顺序排列起来，往往十分有助于解题，它在不等式中应用尤为广泛．

【引例】设有 个彼此不等的正数 ，作出某一切可能的和数，证明得到的和数中至少有 由 得到．

　　证明   不妨设 ，则

   　　　　1个数的和不等的有 ，共 个；

  　　　　 2个数的和不等的有 ，共 个；

   　　　　3个数的和不等的有 ，共 个；

……

 个数的和不等的有 ，共2个；

 个数的和不等有的 ，共1个

　　和数中至少有 个两两不相等．

排序原理：

　　设 ， 是两个非负序列， ， ，则

．

 （反序）　　　　　（乱序）　　　　　　　　　　　　　　　（同序）

对称原理

　　“对称”在生活中随处可见，其例子举不胜举，数学上的对称问题，要用对称法解决，其特点是计算量大大减少．

　　定义一  将一个式子的某个字母互换，若所得式子与原式恒等，则称此式子关于这两个字母对称．

　　定义二  若某式子的所有字母按确定的顺序排成一列后，将第一个字母用第二个字母代替，第二个字母用第三个字母代替，…最后一个字母用第一个字母代替，如果所得式子与原式恒等，那么称此式子为关于这些字母的这种顺序的轮换对称式．

　　【例如】分解因式：

　　分析  此式为 的轮换对称式， 最高次数为4，因此只能解如下三种形式之一

　　      项系数为1，∴前两式必有 ，不可能有“-”，因此只能是第三式正确， 必须系数为1，且两“+”，两“-”，根据轮换对称有

．

扩展资料

抽屉原理

　　原理1：多于 个的元素，按任一确定方式分成 个集合，则至少有一个集合中含有至少二个元素．

　　原理2： 个元素，分成 个集合，则至少有一个集合中含有至少 个元素．

　　原理3：无穷多个元素分成 个集合，则至少有一个集合中含有无穷多个元素．

　　【例１】求证：任意三个整数中，至少有两个整数的和为2的倍数．

　　证明  将任意三个整数分成两类

　　A： ，   B：   （共中 ）

　　则至少有两个整数在同一类，

 其和必为偶数，即为2的倍数．

　　【例２】坐标平面上任意五个整点（横、纵坐标均为整数）中，必有两点，其连线的中点也是整点．

证明  将坐标平面上全体整点分成四类

　　A：奇，奇；   B：奇，偶；   C：偶，奇；   D：偶，偶

　　则任意五个整点中，必有两点在同一类．

　　若在A类，则两点连线的中点必可表示为如下形式 ，该点必为整点．

　　同理可证，两点同在 、 、 类时，结论成立，综上结论成立．