第一节 分类计数原理与分步计数原理

教学设计方案一

10.2 排列 第一课时

教学目标：

　　使学生理解排列的意义，并且能在理解题意的基础上，识别出排列问题，并能用“树形  图”写出一个排列中所有的排列．

教具准备：投影胶片或多媒体的幻灯片．

教学过程：

【设置情境】

　　看下面的问题：

　　问题1  从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

　　这个问题，就是从甲、乙、丙3名同学中选出2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同排法的问题．

【探索研究】

　　解决这个问题需分2个步骤．第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法，根据分步计数原理，共有

3×2＝6

种不同的方法．

　　如图所示为所有的排列．（出示投影）

　　我们把上面问题中被取的对象叫做元素．于是所提出的问题就是从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法．

　　我们再看下面的问题：

　　问题2  从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的挑法？

　　解决这个问题，需分3个步骤：

　　第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；

　　第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法；

　　第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法．

　　根据分步计数原理，共有

4×3×2＝24

种不同的排法，如图所示．（出示投影）

　　由此可以写出所有的排列（出示投影）：

　　abc  abd  acb  acd

　　adb  adc  bac  bad

　　bca  bcd  bda  bdc

　　cab  cad  cba  cbd

　　cda  cdb  dab  dac

　　dba  dbc  dca  dcb

　　一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

　　教师指出：我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有重复元素，也没有重复抽取相同的元素．

　　排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．

　　根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．也就是说，如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列．

　　上面定义的排列里，如果m＜n，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列），叫做选排列；如果m＝n，这样的排列（也就是取出所有元素作排列），叫做全排列．

　　例题  写出从a、b、c三个元素中取出两个元素的全部排列．

　　为了使写出的排列既不重复又不遗漏，教师应介绍一般的方法．

　　解：所有排列是

ab  ac  bc  ba  ca  cb

　　教师指出：在问题2中，先画“图”，再写出所有排列的方法——“树形图”法，可以保证有条不紊、不重不漏地写出一个排列问题中所有的排列．

【演练反馈】

　　1．下列问题中哪些是排列问题？如果是在题后括号内打“√”，否则打“×”．

　　（1）20位同学互通一封信，问共通多少封信？（  ）

　　（2）20位同学互通一次电话，问共通多少次？（  ）

　　（3）20位同学互相握一次手，问共握手多少次？（  ）

　　（4）从e，π，5，7，10五个数中任意取出2个数作为对数的底数与真数，问共有几种不同的对数值？（  ）

　　（5）以圆上的10个点为端点，共可作多少条弦？（  ）

　　（6）以圆上的10个点为起点，且过其中另一个点的射线共可作多少条？（  ）

　　2．在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．

【参考答案】

　　1．略．

　　2．解：选举过程可以分为两个步骤．第1步选正班长，4人中任何一人可以当选，有4种选法；第2步选副班长，余下的3人中任一人都可以当选，有3种选法．根据分步计数原理，不同的选法有

4 ×3＝12（种）．

　　其选举结果是：

　　　　AB  AC  AD  BC  BD  CD

　　　　BA  CA  DA  CB  DB  DC

【总结提炼】

　　 排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．

　　由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列．

布置作业：

　　课本P94  1．

板书设计：

教学设计方案二

10.2 排列 第二课时

教学目标：

　　进一步理解排列的意义，掌握排列数的概念及其计算公式与推导过程，并能应用．

 教具准备：直尺与投影胶片．

教学过程：

【设置情境】

　　上节课我们做了这样一道作业题：写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有排列．

　　解决办法是先画“树形图”，再由此写出所有的排列，共20个．

　　若把这题改为：写出从5个元素．a，b，c，d，e中任取4个元素的所有排列，结果如何呢？

　　方法同上，共120个，数字较大，排列写起来挺“烦”，若再把这题改为：写出从8个元素a，b，c，d，e，f，g，h中任取4个元素的所有排列，结果又如何呢？

　　方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“啰嗦”．

　　师问：研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过—一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？这节课我们就来共同探讨这个问题：排列数及其公式．

【探索研究】

　　1．排列数的定义

　　从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 ．

　　教师应当指出，注意区别“一个排列”与“排列数”的不同：“一个排列”是指“从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列”，不是数；“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，是一个数．因此符号分只代表排列数，而不表示具体的排列．

　　2．排列数公式

　　求排列数 可以这样来考虑：先求排列数 ，阅读教材第90页相关内容，再思考解决 ．

　　假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素 ， ，…， 中任意取m个去填，一个空位填一个元素，每一种填法就对应着一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到．因此，所有不同填法的种数就是排列数 ．

　　填空可以分为m个步骤：

　　第1步，第一位可以从n个元素中任选一个填上，共有n种填法；

　　第2步，第二位只能从余下的n－l个元素中任选一个填上，共有n－1种填法；

　　第3步，第三位只能从余下的n－2个元素中任选一个填上，共有n－2种填法；

　　……

　　第m步，第m位只能从余下的n－（m－1）个元素中任选一个填上，共有n－m＋1种填法．

　　根据分步计数原理，全部填满m个空位共有

n（n－1）（n－2）…（n－m＋l）

种填法．

　　于是得到公式

．

　　这里m、n ，且m＜n，这个公式叫做排列数公式．它有以下三个特点：

　　（1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1．

　　（2）最后一个因数是n－m＋1．

　　（3）共有m个因数．

　　当m＝n时，

。

　　正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表示。

　　注意：

　　①阶乘符号“！”借用于标点符号，表示感叹，意味着随着n的不断增大， 的值增加的令人惊奇的快。这个符号很形象、很贴切。

　　②排列数公式的推导是“构造”框图来解决的，框图是一种简单的数学建模，学习时要引起重视。

　　因此，排列数公式还可以写成

　　为了使上面的公式在m＝n时也能成立，我们规定 。

　　一般情况下，第一个公式常用于计算；第二个公式是常用于证明。

　　3．例题

　　计算

　　（1）   （2）   （3）

　　解：（1）

　　　　（2）

　　　　（3）

【演练反馈】

　　1．解方程  。

　　（由一名学生板演后，教师讲评有关排列数方程的解法）

　　2．证明： 。

　　3．计算从5个元素a，b，c，d，e中任取4个元素的排列数。

【参考答案】

　　1．解：原方程可化为

　　 且

　　∴ 

　　解得

　　经检验 是原方程的根。

　　2．证明：右边

　　　　　　　　

　　　　　　　　 左边

　　即原式得证。

　　3．解：

【总结提炼】

　　排列数的计算与以前学过的计算不同，它是用分步计数原理推导的，要掌握其特点，并注意两个公式的适用范围。同时要掌握公式的推导方法。

布置作业：课本P95练习2，3，4。

板书设计：

教学设计方案三

10.2 排列 第三课时

教学目标：

　　能把一些简单问题中的具体的计算“个数”问题转化为排列，以及排列数的计算，从而解决一些简单的排列问题．

教学过程：

【设置增境】

　　问题1  什么叫做排列？

　　问题2  什么叫做排列数？排列数的公式是怎样的？

　　（由一名学生回答，教师纠正，引入新课．）

　　我们已经从分析具体的例子出发，得到了排列的概念，推导了排列数的公式，具备了一定的计算能力，就是说掌握了有关排列的一些基础知识．那么，如何运用这些知识来解关于排列的简单应用题呢？

【探索研究】

　　例1  某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

　　分析：很明显，这个问题可以归结为排列问题来解，任何2队间进行一次立场比赛和一次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此总共进行的比赛场次数等于排列数 ．

　　解： （场）

　　答：共进行了182场比赛．

　　教师归纳．（投影出示）

　　在解排列应用题时，先要认真审题，看这个问题能不能归结为排列问题来解，如果能够的话，再考虑在这个问题里：

　　（1）n个不同元素是指什么？

　　（2）m个元素是指什么？

　　（3）从n个不同元素中取出m个元素的每一种排列，对应着什么事情？

　　要充分利用“位置”或框图进行分析，这样比较直观，容易理解．

　　例2  （l）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？

　　解：（l）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同的送法种数是

　　（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的书都有5种不同的方法，因此送给3名同学每人1本书的不同方法的种数是

　　答：略．

　　（教师点评这两道题的区别．）

　　例3  某信号共用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示，每次可以任挂l面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

　　解：如果把3面旗看成3个元素，则从3个元素中每次取出1个、2个或3个元素的一个排列对应一种信号．

　　于是，用1面旗表示的信号有 种，用2面旗表示的信号有 种，用3面旗表示的信号有 种．根据分类计数原理，所求信号的种数是

＋ ＋ ＝15．

　　教师点评：解排列应用题时，要注意分类计数原理与分步计数原理的运用．

【演练反馈】

　　1．4辆公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上配一位司机和一位售票员，问有多少种不同的搭配方案？

　　2．由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的正整数？

　　3．20位同学互通一封信，那么通信的次数是多少？

【参考答案】

　　1．提示： 种

　　2．提示： 个

　　3．提示： 次

【总结提炼】

　　排列问题与元素的位置有关，解排列应用题时可从元素或位置出发去分析，结合框图去排列，同时注意分类计数原理与分步计数原理的运用．

布置作业：

　　1．课本P95练习5，6．

　　2．从4种蔬菜品种中选出3种分别种在不同土质的3块土地上进行试验，共有多少种不同的种植方法？

板书设计：

教学设计方案四

10.2 排列 第四课时

教学目标：

　　能初步掌握有限制条件的排列问题的解法。

教学过程：

【设置情境】

　　从上一节课的简单应用题的解法中可以知道，一个问题是否为排列问题，关键是看与元素的顺序是否有关，在计算中除运用排列数公式外，还要结合分类计数原理与分步计数原理．

　　在实际中有些问题往往比较复杂，给出了一定的限制条件，如下面的问题：

　　6个队员排成一列进行操练，其中新队员甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的站法？

　　像这样的问题，需要在正确理解题意的前提下，细致地分析与考察可能的情况，进行恰当的算法设计．

【探索研究】

　　对上个问题可进行如下分析：

　　分析1：要使甲不在排头和排尾，可先让甲在中间4个位置中任选1个位置，有 种站法；然后对其余5人在另外5个位置上作全排列有 种站法。根据分步计数原理，共有站法

（种）

　　分析2：由于甲不站排头和排尾，这两个位置只能在其余5个人中，选2个人站，有 种站法；对于中间的四个位置，4个人有 种站法．根据分步计数原理，共有站法

（种）

　　分析3：若对甲没有限制条件，共有 种站法，这里面包含下面三种情况：（1）甲在排头；（2）甲在排尾；（3）甲不在排头，也不在排尾．

　　甲在排头有 种站法；甲在排尾有 种站法，这都不符合题没条件，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有

（种）

　　教师点评（出示投影）：上面的方法是解应用题中比较常用的三种方法，要好好理解．同时，一般地对于有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的计算方法：

　　（l）直接计算法

　　排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个（或某些）位置、某个（或某些）位置只能放某些元素，因此进行算法设计时，常优先处理这些特殊要求．便有了：先处理特殊元素或先处理特殊位置的方法．本题的方法一就是先处理特殊“新队员甲”，方法二则是先处理特殊位置“排头”、“排尾”．这些统称为“特殊元素（位置）优先考虑法”．

　　（2）间接计算法

　　先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，间接得出符合条件的排列种数．这种方法也称为“去杂法”．在去杂时，特别注意要不重复，不遗漏（去尽）．

　　两者的繁简相差无几，有时相差很大，这时只要选择比较简捷的一种即可．

　　例题  5个人站成一排：

　　（l）共有多少种不同的排法？

　　（2）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？

　　（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？

　　（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？

　　（5）其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？

　　（6）其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？

　　解：（1）由于没有条件限制，5个人可作全排列，共有 种排法．

　　　　（2）由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，有 种排法．

　　　　（3）因为甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙在一起为一个元素与其他3人有 种排法，而甲、乙又有 种排法，根据分步计数原理共有 种排法。

　　　　（4）甲、乙两人外的其余3人有 种排法，要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有 种排法，所以共有 种排法；或总的排法减去相邻的排法，即 种排法．

　　　　 （5）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余3人中选2人来站有 种排法，剩下的人有 种排法，共有 种排法．

　　　　（6）甲站排头有 种排法，乙站排尾有 种排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙站排尾”的情况，有 种排法，故共有 种排法．

　　教师点评：本题所涉及的限制条件，如“某元素必须在某个位置”“某元素不在某个位置”“某几个元素相邻”“某几个元素不相邻”等具有一般的意义，要很好体会．

【演练反馈】

　　1．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？

　　（由一名学生板演，其他学生补充解法，教师讲评）

　　2．在 7名运动员中选出 4名组成接力队，参加4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？

　　（由一名学生板演后，教师讲评）

　　3．有标号为1，2，3，4，5的五个红球和标号为1，2的两个白球，将这七个球排成一排，使两端都是红球．

　　（1）如果每个白球的两边都是红球有多少种排法？

　　（2）如果1号红球和1号白球相邻排在一起有多少种排法？

　　（3）同时满足上述两个条件的排法有多少种？

　　（学生思考后，教师讲解）

【参考答案】

　　1．分析1：“第一节不排体育，最后一节不排数学”可分为以下几种情况：

　　①体育、数学都既不排在第一节也不排在最后一节，这时的体育、数学有 种排法，其他的课有 种排法，所以有 种排法．

　　②数学排在第一节，但体育不排在最后一节，有4 种排法．

　　③体育排在最后一节，数学不排第一节，有4 种排法．

　　④数学排在第一节，体育排在最后一节，有 种排法．

　　因此一共有

   ＋4 ＋4 ＋ ＝21 ＝504

种排法．

　　分析2：如果没有限制条件，可以有 种排法，其中不符合条件的排法有：①数学排在最后一节有 种；②体育排在第一节有 种．但这两种情况都包含了“体育排在第一节同时数学排在最后一节”这种情况，而这种情况的排法有 种．因此，符合条件的排法为

－2 ＋ ＝21 ＝504（种）

　　注意：这里去杂时，必须加上多去的 ．

　　2．解：可将接力队分为“甲、乙两人都不在内”“甲、乙两人只有一人在内”“甲、乙两人都在内”三种情况：

　　①“甲、乙两人都不在内”有 种方法．

　　②“甲、乙两人只有一人在内”有 种方法．

　　③“甲、乙两人都在内”有 种方法．

　　因此，共有

种安排方法．

　　3．解：（l）红球的排法有 种，要使白球两边都是红球，只有插红球的空档位置，有 种方法，所以共有排法

（种）

　　（2）可分为两种情况：l号红球在两端时，其余4个红球有 种排法，这时1号白球只有1种排法，2号白球有 种排法，这种情况有 种排法；l号红球在中间三个位置时，两端的红球有 种排法，中间3个红球有 种排法，这时1号白球有 种排法，2号白球有 种排法，这种情况有 排法．所以共有排法

（种）

　　（3）同样可分为两种情况：l号红球在两端时有 种排法；l号红球在中间三个位置时有 种排法．所以共有排法

（种）

【总结提炼】

　　比较复杂的排列应用题往往都有某些限制条件（一般是对元素或者位置作某些限制）．解题时，首先要对这些有限制条件的元素或位置作仔细分析，然后再考虑解法．当直接计算比较复杂时，可从反面考虑先求出不符合条件的所有排列的种数，从而间接求出符合条件的排列的种数．无论是从“元素”考虑还是从“位置”分析，采用直接计算法还是间接计算法，要防止重复或遗漏．

布置作业：

　　1．课本P96习题10．2  8，9。

　　2．七个人（其中有甲、乙二人）按下列要求站成一排，分别有多少种不同的排法？

　　（1）甲、乙之间恰隔二人；

　　（2）甲不站左端，乙不站在右端。

板书设计：

教学设计方案五

10.2 排列 第五课时

教学目标：

　　能按照有限制条件的排列问题的解决方法处理排列中的常见题型之一——数字组数问题。

教学过程：

【设置情境】

　　问题1  有限制条件的排列应用题可从哪两个方面进行分析？

　　问题2  有限制条件的排列应用题常用哪两种计算方法？

　　（由一名学生回答，教师纠正．）

　　上节课我们研究的问题，它们的限制条件都是非常明确的，但也有一些问题的限制条件是隐蔽的，必须分析题意从中找出其限制条件．请看下面的问题：

　　用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

　　由于组成的是三位数，其百位数字就不能是0，这就是题中内隐的限制条件，这样就可以用前面的方法来解决．

　　这节课我们就来研究这类“数字组数问题”．

【探索研究】

　　对上一个问题可作如下分析：

　　分析1：由于百位上的数字不是0，它可以从1到9这9个数字中任选一个，有 种选法，再排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有 种选法，根据分步计数原理，所求三位数的个数是

　　分析2：所求的三位数可分为两类：一类是不含数字0的，有 个；另一类是含有数字0的有24个．根据分类计数原理，所求三位数的个数是

．

　　分析3：从0到9这十个数字中任取3个的排列数为 ，其中以0为百位数字的排列数为 ．因此它们的差就是所求三位数的个数，故所求三位数的个数是

．

　　教师点评：从以上的分析中可以看出，数字问题的解法与有限制条件的排列应用题的解法是一样的，关键是找出其中隐蔽的限制条件．

　　例题  用数字0，l，2，3，4，5组成没有重复数字的数．

　　（l）能组成多少个六位数？

　　（2）能组成多少个六位奇数？

　　（3）能组成多少个能被5整除的六位数？

　　（4）能组成多少个比240135大的数？

　　解：（l）第一位不能是0，有 种方法，其他各位有 种方法，共有六位数的个数是

　　（2）要使六位数为奇数，其个位数字必须是1或3或5，所以所求六位奇数的个数是

　　（3）要使六位数能被 5整除，个位数字必须是 0或 5．当个位数字为 0时有 个；当个位数字为5时有4 个，因此能被5整除的六位数的个数是

　　（4）要比240135大，首先必须是六位数，有以下几类：首位数字是3或4或5时各有 个；首位数字是2，第二位数字是4或5，但不包含240135在内，有 个．因此共有比240135大的数的个数是

 【演练反馈】

　　1．由1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数．

　　（1）2，4，6必须连在一起的有多少个？

　　（2）2，4，6任意两个不相邻的有多少个？

　　（由一名学生板演后，教师讲评）

　　2．由1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数．

　　（l）奇数位置上是奇数的有多少个？

　　（2）奇数在奇数位置上的有多少个？

　　（由一名学生板演后，教师针对其错误进行分析讲评）

　　3．在3000和8000之间有多少个没有重复数字的奇数？

　　（学生思考后，教师讲解）

［参考答案］

　　1．解：（1）把2，4，6连在一起看成一个元素与1，3，5，7排列，有 种排法，而2，4，6又有 种排法，根据分步计数原理，2，4，6连在一起的七位数的个数是

．

　　（2）先把奇数1，3，5，7排好，有 种排法，然后把2，4，6插入它们的空档位置，有 种排法．根据分步计数原理，所求的七位数的个数是

。

　　2．解：（1）由于奇数位置上是奇数，则奇数位置有 种排法，偶数位置有 种排法，所以符合条件的五位数的个数是

　　（2）奇数在奇数位置，则偶数位置必是偶数，有 种排法，奇数位置有 种排法，所以符合条件的五位数的个数是

　　3．解：依题意，即为用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9可组成大于3000而小于8000的没有重复数字的四位奇数的个数。

　　当千位数字是3或5或7时，有 个；当千位数字是4或6时，有 个，根据分类计数原理，符合条件的数的个数是

【总结提炼】

　　数字问题的排列应用题是常见题型之一，其限制条件往往隐含在题意中，解题时既要把握好分类，又要注意数字的特殊要求，按照有限制条件的排列问题的方法求解。

布置作业：

　　1．课本P96习题10．2  7。

　　2．用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？其中有多少个是偶数？

【参考答案】1．略。2．27216；13776

板书设计：