第一节分类计数原理与分步计数原理

作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:15阅读：nyq

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教学建议

（一）教材分析

1． 知识结构

2．重点难点分析

　　重点是分类计数原理和分步计数原理内容及两者的区别．难点是对较为复杂事件的分类和分步．

　　（1）分类计数原理中的“做一件事，完成它可以有类办法”，是对完成这件事的所有方法的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法，即不重复也不遗漏．只有满足这些条件，才能用分类计数原理．

　　（2）分步计数原理中的“做一件事，完成它需分成类方法”，是指完成这件事的任何一种方法，都要分成个步骤．分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成这个步骤后这件事才算完成，只有满足这些条件，才能用分步计数原理．

　　（3）分类计数原理和分步计数原理的共同点是它们完成一件事情，共有多少种不同的方法．区别在于完成一件事情的方式不同：分类计数原理是“分类完成”，即任何一种办法中用任何一个方法都能独立完成这件事；分步计数原理是“分步完成”，即这些方法需要分步骤顺次相依，且每一个步骤都完成了，才能完成这件事情．区分分类还是分步的关键是看经过这个过程，有没有完成整个事情．

　　（4）透彻理解两个原理，注意两个基本原理的区别及联系，在运用两个基本原理解决问题的过程中，要注意如下思维过程的训练和总结：由少到多，由具体到抽象，由特殊到一般，由简单到复杂，由形象思维转化为逻辑思维．

（二）教法建议

　　1．教学时建议从实际生活中引入，可以让学生先举身边的例子，老师然后补充，这样容易调动学生学习的积极主动性．

　　2．可以与学生旧有的知识相对比，教师可以根据实际学生情况考虑是否可以将两个原理与物理中的串并联相联系：分类计数原理类似于电学中的并联；分步计数原理类似于串联．在处理问题时应紧紧抓住“分类”还是“分步”：“分类”用“加法”，“分步”用“乘法”．

　　3．关于两个计数原理的教学可以分三个层次：

　　第一是对两个计数原理的认识与理解．这里要求学生理解两个计数原理的意义，并弄清两个计数原理的区别．知道什么情况下使用加法计数原理，什么情况下使用乘法计数原理．（建议利用一课时）．

　　第二是对两个计数原理的使用．可以让学生做一下习题（建议利用两课时）：

　　①用0，1，2，……，9可以组成多少个8位号码；

　　②用0，1，2，……，9可以组成多少个8位整数；

　　③用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；

　　④用0，1，2，……，9可以组成多少个有重复数字的4位整数；

　　⑤用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数；

　　⑥用0，1，2，……，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等．

　　第三是使学生掌握两个计数原理的综合应用，这个过程应该贯彻整个教学中，每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理，每一道排列、组合问题都可以直接利用两个原理求解，另外直接计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现．教师要引导学生认真地分析题意，恰当的分类、分步，用好、用活两个基本计数原理．

　　4．对于较为复杂的既要用分类计数原理，又要用分步计数原理的问题，教学时可以根据题意恰当合理的画出示意留或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于解题．

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教学建议

（一）教材分析

1．知识结构

2．重点难点分析

　　重点：理解组合的概念，注意排列数与组合数之间的联系和区别，掌握组合的性质；难点：充分认识组合与排列的联系与区别全在一个“序”，熟练应用组合数公式及准确运用组合数的两个性质，掌握处理排列组合综合问题的基本方法．

　　（1）对组合定义的理解

　　对组合定义理解要搞清以下两点：

　　①何谓相同组合？何谓不同组合？

　　如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何，都是相同的组合。

　　当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合．

　　例如：从 a、b、c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合有 3个，它们分别是、、．但、是相同的组合，而、是不同的组合．

　　②排列与组合的区分

　　根据排列与组合的定义，前者是从个不同元素中选取m个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从个不同元素中选取m个不同的元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题．关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关．

　　排列与组合的共同点，就是都要“从个不同元素中，任取个元素”，而不同点在于元素取出以后．是“排成一排”，还是‘“组成一组”，其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异．因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关．有顺序的是排列问题，无顺序的则是组合问题．例如123和321，132是不同的排列，但它们都是相同的组合．再如两人互通一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题．

　　（2）解排列、组合应用题的途径与思路

　　解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步．切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）．

　　具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：

　　①以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．

　　②以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其地位置．

　　③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数．

　　排列、组合应用题的解题思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘．

　　（3）解排列，组合混合应用题的基本方法

　　排列组合综合题的求解，要合理进行分类、分步．基本方法是：先“组”后“排”，即先分类，再分步．

　　排列组合应用题大致可分为三大类：不带限制条件的排列或组合题；带有约束条件的排列或组合题；排列与组合的综合题．解此类问题常用的方法有：

　　①相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，就是将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列，分作两步．

　　②元素间隔排列应用题，一般采用“插空法”．

　　③含有特殊元素和特殊位置的排列，组合应用题，常采用“特殊元素法”，从元素为主出发，先安排特殊元素；从位置为主出发，先安排好特殊位置上元素，结合排除法解决此类问题

　　④指标问题采用“隔板法”．

　　⑤有关“分堆”与“到位”应用问题常采用“分组法”与“分配法”．若只分堆，不指定到具体位置，则需注意平均分的情况；所谓“到位”是指分堆后给某人或指定到某些位置此类问题初学者常出现错误，有待加强理解．

　　⑥相邻类排列应用题常采用“捆绑法”解决，就是将几个相邻元素先抽出排列再将它们视为一个元素参与下一步的排列，此法是法一的逆向思维应用

　　总之，排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：

　　①以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

　　②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

　　③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．

　　前两种方法叫直接解法，后一种方法叫间接解法，求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．这里常可培养：分类讨论思想，转化思想和对称思想等数学思想，具体的解题策略有：

　　①特殊元素优先安排策略；

　　②合理分类与准确分类策略；

　　③先选后排策略；

　　④正难则反，等价转化的策略；

　　⑤相邻问题捆绑处理的策略；

　　⑥间隔问题插空处理的策略；

　　⑦定序问题除法处理的策略；

　　⑧分排问题直排处理的策略；

　　⑨ “小团体”排列问题中先整体后局部策略；

　　⑩构造模型的策略．

（二）教法建议

　　1．建议运用对比的方法，把排列与组合的概念进行对比的进行学习，这样有利于搞请这两组概念的区别与联系．

　　2．建议根据实际生活中的一些问题，教学时可以师生（以学生为主）可以合编一些排列组合问题．如“45人中选出5人当班干部有多少种选法？”与“45人中选出5人分别担任班长、副班长、体委、学委、生委有多少种选法？”这是两个相近问题，同学们会根据自己身边的实际可以编出各种各样的具有特色的问题，教师要引导学生辨认哪个是排列问题，哪个是组合问题．这样既调动了学生学习的积极性，又在编题辨题中澄清了概念．

　　3．为了理解排列与组合的概念，建议教学时充分利用树形图，让学生自己学会画排列与组合的树图．学会画组合树图，不仅有利于理解排列与组合的概念，还有助于推导组合数的计算公式．

　　4．讲解有关排列组合的应用问题，建议教师应从简单问题问题入手，逐步到有一个附加条件的单纯排列问题或组合问题，最后在再涉及排列与组合的综合问题．

　　对于每一道题目，教师应先让学生独立思考，在进行全班讨论，对于学生的每一种解法，教师要先让学生判断正误，在给予点播．对于排列、组合应用问题的解决我们提倡一题多解，这样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力，在学生的多种解法基础上教师要引导学生选择最佳方案，总结解题规律．对于学生解题中的常见错误，教师一定要讲明道理，认真分析错误原因，使学生在是非的判断得以提高．

　　5．在两个性质定理教学时，对定理1，可以用下例来说明：从4个不同的元素a，b，c，d里每次取出3个元素的组合及每次取出1个元素的组合分别是