第三节 等差数列前n项和
例1.设某个等差数列共有12项,其中奇数项的和为78,偶数项的和为96,求这个数列的后五项的和.
分析:数列的后五项是一个等差数列,其首项为原数列的第八项,公差就是原数列的公差,所以应先求原数列的首项与公差.
解:设等差数列为 ,其首项为 ,公差为 ,奇数项构成以 为首项, 为公差的等差数列,偶数项构成以 为首项, 为公差的等差数列,于是有 化简得 解得 故 所以 .即这个等差数列后五项的和为125.
说明:在运用等差数列前 项和公式时依然要运用基本量的思想,把已知与所求都用基本量来表示,从而使题设与结论之间的关系明朗化.
例2.等差数列 和 的前 项和分别为 和 ,若对一切正整数 都有 ,求 的值.
分析: 由 、 的通项公式可求得 、 的通项公式.
解法一:令 ,则当 时,有 ,所以
解法二:
说明: 等差数列前 项和 ,当公差 时, 是 的二次函数,且常数项为0,所以等差数列前 项和 的一般形式是 ,解法一就运用了这个形式;解法二则侧重等差数列前 项和公式的另一形式 ,是等差数列性质的应用.
例3.把正整数以下列方法分组:(1),(2,3),(4,5,6),…,其中每组都比它的前一组多一个数,设 表示第 组中所有各数的和,那么 等于( ).
(A)1113 (B)4641 (C)5082 (D)53361
分析:第21组共有21个数,构成一个等差数列,公差为1,首项比第20组的最后一个数大1,所以先求前20组一共有多少个数.
解:因为第 组有 个数,所以前20组一共有 个数,于是第21组的第一个数为211,这组一共有21个数, ,故选 .
说明:认真分析条件,转化为数列的基本问题.
例4. 是等差数列 的前 项和, ,且 , .求数列 的前 项和 的通项公式.
分析:因为 ,所以应确定 的首项及公差.
解:设 的首项为 ,公差为 ,则 , , , ,由已知得 解得 所以 , , ,
.
说明:本题中的条件较多,通过分析找出基本量,简化条件,同时明确解题方向. 求数列 的前 项和 使用的是裂项法,在第一节中曾经提到,在此复习为今后求极限作准备.
例5.设等差数列 的前 项和为 ,已知
(1)求公差 的取值范围;
(2)指出 中哪一个值最大,并说明理由.
分析:求 的取值范围应设法建立关于 的不等式(组);找 中的最大值可根据 的函数式用函数方法解决,也可根据数列的项的变化情况来定.
解(1): 的首项为 ,由已知有 将 代入后两个不等式,消去 得 .
(2)解法一:由 因为 ,则 ,可知 ,所以 中最大的是 .(另法: ,得 所以 所以 最大.)
解法二: ,二次函数 的对称轴方程为 ,由于 ,有 ,所以当 时, 最大.
说明:根据项的值判断前 项和的最值有以下结论:
①当 时, ,则 最小;
②当 时, ,则 最大;
③当 时, ,则 最小;
④当 时, ,则 最大.