第四节绝对值不等式的解法

作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:14阅读：nyq

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典型例题

例1 解不等式（）

　　分析：此题关键在于绝对值符号里有字母系数，解题过程中要注意分类讨论．

　　解：原不等式可化为

　　即

　　当时，解集为

　　评析：1．遇到字母系数要合理进行讨论，尤其是字母系数为负时，利用不等式性质化简不等式时一定要改变不等号的方向．
　　2．若遇的系数为负的含绝对值不等式，如，等，可利用绝对值的性质将其转化为系数为正的情况去解，如将上述两不等式变为，后再解，以减小错误的发生率．

例2 解关于的不等式（）

　　分析：这里没有的条件，应分类求解．
　　解：若，即，则恒不成立，此时原不等式无解；
　　若，即，则，所以
　　综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式解集为．

例3 解不等式．

　　点拨一这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．
　　解法一 　由代数式，知，－2，1把实数集分为三个区间：，，．
　　当时，原不等式变为，即；
　　当时，原不等式变为，即；
　　当时，原不等式变为，即．
　　综上，知原不等式的解集为．
　　点评解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：
　　（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；
　　（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；
　　（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
　　（4）这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．

　　点拨二不等式的几何意义是表示数轴上与及B（1）两点距离之和小于4的点．而A，B两点距离为3，因此线段AB上每一点到A，B的距离之和都等于3．如下图，要找到与A，B的距离这和为4的点，问题就迎刃而解了．

　　解法二 如上图，要找到与A，B距离之和为4的点，只需由点B向右移动个单位，这时距离之和增加1个单位，即移到点．或由点A向左移动个单位，即移到点．

　　可以看出，数轴上点向左的点或者向右的点到A，B两点的距离之和均小于4．

　　所以，原不等式的解集为．

　　点拨三从函数的角度思考，可分别画出函数和的图象．观察即得．

解法三 如右图．

．

　　不难看出，要使，只须．

　　所以，原不等式的解集为．

　　点评对于解法一，要孰记或两种类型的解法，关键是正确分类并转化为不含绝对值的不等式；对于解法二，要搞清它的几何意义是什么，并注意结论是否包括端点；对于解法三，关键是正确画出两个函数的图象，并准确写出它们交点的坐标．三种方法都比较直观、简捷，不同程度体现了分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法，各有千秋，都是我们应该熟练掌握的解题通性通法．