第十节 切线长定理

典型例题

　　例1、如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C．图中互相垂直的线段有  OA⊥AP、OB⊥BP、AB⊥PE  （只要写出三对线段）．

　　说明：目的是对切线长定理的基本图形的研究．

　　例2、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O内切Rt△ABC的三边AB、BC、CA于D、E、F，半径r=2．求△ABC的周长．

　　解：设AF=x，∵⊙O内切Rt△ABC，

　　　∴AC=x+2，AB=x+3．

　　　由勾股定理，得： ，

　　　解方程，得x=10．

　　　则Rt△ABC的周长c=AB+BC+CA=13+5+12=30．

　　说明：利用代数方法解决几何问题，培养学生的综合应用知识能力．

　　例3、（上海市，2001）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB为半径作⊙D．

　　求证：（1）AC是⊙D的切线；

　　 （2）AB+EB=AC．

　　证明：（1）过D作DF⊥AC，F为垂足．

　　　∵AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，

　　　∴DB=DF．

　　　∴点D到AC的距离等于圆D的半径，

　　　∴AC是⊙D的切线．

　　（2）∵AB⊥BD，⊙D的半径等BD，

　　　∴AB是⊙D的切线．∴AB=AF．

　　　∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED=CD，BD=FD，

　　　∴Rt△BED≌Rt△FCD，∴BE=FC，∴AB+BE=AF+FC=AC．

　　说明：（1）此题为中档题目，切线长定理的应用；（2）有圆的两切线时，常有以下几种引辅助线的方法：

　　①连结圆和两条切线的公共点；

　　②连结两个切点；

　　③连过切点的半径．

　　例4、已知：Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过D作⊙O的切线DE，交BC于E，求证：BE=CE． 

　　分析：由AB为直径知BD⊥AC，故要证BE=CE，要需证DE为斜边中线即可．

　　证明：连结BD

　　　∵AB为⊙O的直径，

　　　∴BD⊥AC，

　　　∴∠2+∠3=∠1+∠C=90°，

　　　∵BC⊥AB，AB为⊙O的直径，

　　　∴BC为⊙O的切线

　　　∵DE为⊙O的切线，∴DE= BE

　　　∴∠1=∠2

　　　∴∠3=∠C，∴DE= CE

　　　∴BE=CE．

　　说明：（同上）此题为连两切点．

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