第五节 相似三角形的性质
例1 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC=6,DB=5,求AD的长.
分析:由已知AC=6,DB=5,选用 来解决,考虑△ACD∽△ABC.
?
解:在△ACD和△ABC中,
∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ACD∽△ABC.
∴ .∴ .
设AD=x,则AB=x+5,又AC=6,
∴ .
解得:x=4(舍去负值)
∴AD=4.
说明:(1)本题是“双垂直图形”中的求值问题,也是借助于三角形相似,利用比例式求线段的长问题.通过那两个三角形相似求解,要充分观察已知条件;(2)求解方法有直接法和解方程法.
例2 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,底边上的高AD=10cm,腰AC上的高BE=12cm.
(1)求证: ;
(2)求△ABC的周长.
分析:(1)易证△ADC∽△BEC,所以 ,关键是作等量代换:AB=AC,BC=2BD.(2)充分利用(1)的结论,通过线段之间的关系构造方程求解.
证明:(1)在△ADC和△BEC中,
∵∠ADC=∠BEC=90°,∠C=∠C.
∴△ADC∽△BEC,
∴ .
∵AD是等腰三角形ABC底边的高线,
∴BC=2BD ,
又AB=AC,
∴ ,∴
解:(2)设BD=x,则AB= x,
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,
根据勾股定理,得: .
∴ ,解得 x=7.5,
∵BC=2x=15,AB=AC= x=12.5
∴△ABC的周长为40cm.
说明:(1)题目中所出现的相似三角形也是一种常见的图形(如右图);(2)方程思想在求线段的题目中,经常用到,要熟练掌握.在设未知数时,对所求的线段可以直接设元,也可以间接设元.
例3 已知:如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D.
求证: BC2=2CD·AC.
分析:欲证 BC2=2CD·AC,只需证 .但因为结论中有“2”,无法直接找到它们所在的相似三角形,因此需要结合图形特点及结论形式,通过添加辅助线,对其中某一线段进行倍、分变形,构造出单一线段后,再证明三角形相似.由“2”所放的位置不同,证法也不同.
证法一(构造2CD):如图,在AC截取DE=DC,
∵BD⊥AC于D,
∴BD是线段CE的垂直平分线,
∴BC=BE,∴∠C=∠BEC,
又∵ AB=AC,
∴∠C=∠ABC.
∴ △BCE∽△ACB.
∴ , ∴
∴BC2=2CD·AC.
证法二(构造2AC):如图,在CA的延长线上截取AE=AC,连结BE,
∵ AB=AC,
∴ AB=AC=AE.
∴∠EBC=90°,
又∵BD⊥AC.
∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°,
∴∠E=∠DBC,
∴△EBC∽△BDC
∴ 即
∴BC2=2CD·AC.
证法三(构造 ) :如图,取BC的中点E,连结AE,则EC= .
又∵AB=AC,
∴AE⊥BC,∠ACE=∠C
∴∠AEC=∠BDC=90°
∴△ACE∽△BCD.
∴ 即 .
∴BC2=2CD·AC.
证法四(构造 ):如图,取BC中点E,连结DE,则CE= .
∵BD⊥AC,∴BE=EC=EB,
∴∠EDC=∠C
又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,
∴△ABC∽△EDC.
∴ ,即 .
∴BC2=2CD·AC.
说明:此题充分展示了添加辅助线,构造相似形的方法和技巧.在解题中方法要灵活,思路要开阔.