第三节 一元一次方程和它的解法

典型例题

　　例1 判断下面的移项对不对，如果不对，应怎样改正？

　　（1）从 得到 ；

　　（2）从 得到 ；

　　（3）从 得到 ；

　　（4）从 得到 ；

　　分析：判断移项是否正确，关键看移项后的符号是否改变，一定要牢记“移项变号”．注意：没有移动的项，符号不要改变；另外等号同一边的项互相调换位置，这些项的符号不改变．

　　解：（1）不对，等号左边的7移到等号右边应改变符号．正确应为：

　　（2）对．

　　（3）不对．等号左端的－2移到等号右边改变了符号，但等号右边的 移到等号左边没有改变等号．正确应为：

　　（4）不对．等号右边的 移到等号左边，变为 是对的，但等号右边的－2仍在等号的右边没有移项，不应变号．正确应为：

　　例2 解方程：

　　（1） ；　　（2）

　　（3） ；　（4）

　　分析：本题都是简单的方程，只要根据等式的性质2．把等号左边未知的系数化为1，即可得到方程的解．

　　解：（1）把 的系数化为1，根据等式的性质2．在方程两边同时除以3得，
　　　检验 左边 ，右边
　　　左边=右边．
　　　所以 是原方程的解．

　　（2）把 的系数化为1，根据等式的性质2，在方程两边同时除以4得， ．
　　　检验：左边 ，右边=2，
　　　左边=右边
　　　所以 是原方程的解．

　　（3）把 的系数化为1．根据等式性质2，在方程的两边同时乘以 得，
　　　
　　　　
　　　检验，左边
　　　右边
　　　左边=-右边，
　　　所以 是原方程的解；

　　（4）把 的系数化为1，根据等式的性质2，在方程两边同时乘以－2得：
　 　　
　　　　
　　　检验：左边 ，右边 ，
　　　左边=右边．
　　　所以 是原方程的解．

　　说明： ①在应用等式的性质2把未知数的系数化为1时，什么情况适宜用“乘”，什么情况下适宜用“除”，要根据未知数的系数而定．一般情况来说．当未知数的系数是整数时，适宜用除；当未知数的系数是分数（或小数）适宜用乘．（乘以未知数系数的倒数）．②要养成进行检验的习惯，但检验可不必书面写出．

　　例3 解方程：

　　（1） ；     （2） ；

　　（3） ；        （4）

　　分析： 解方程的思路是将已知方程通过一系列变形化为最简方程 的形式，也就是说把 作为已知方程变形的目标．因此，要把已知方程转化为最简化，就要把含有未知数的项都移到等号的一边，常数项移到等号的另一端．

　　解法一：（1）移项，得：

　　　

　　　合并同类项，得：

　　　（2）移项，得

　　　合并同类项，得     ，

　　　系数化成1，得， 

　　解法二：移项，得，

　　　 ，

　　　合并同类项，得：

　　　

　　　系数化为1，得，

　　　 

　　（3）移项，得：

　　　

　　　合并同类项，得

　　　

　　　系数化为1，得

　　　

　　（4）移项，得：

　　　

　　　合并同类项，得，

　　　

　　　系数化为1，得

　　　

　　说明：第（2）题采用了两种不同的移项方法，目的都是将未知数的项移到等号的一端，已知数移到等号另一端，事实上，其它的题目也都可以采用不同的移项方法，要根据题目的特点，寻找简捷的移项方法．

　　例4 解方程：

　　（1） ；

　　（2）

　　分析：为了把已知方程化为最简方程 的形式，首先要去括号，然后再作其它变形．

　　解：（1）去括号，得：

　　　

　　　移项，得：

　　　

　　　合并同类项，得

　　　

　　　系数化成1，得  

　　说明： ①用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号；② 不是方程的解，必须把 系数化为1，得 才算完成了解方程过程．

　　（2）去小括号：

　　　

　　　合并括号里的同类项，得：

　　　 ，

　　　去中括号，得：

　　　

　　　合并同类项，得：

　　　

　　　移项，得

　　　

　　说明： 方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，再去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算．

　　例5 解方程：

　　（1） ；       （2）

　　分析： 方程中含有分母，应根据等式的性质2，方程两边同乘以各分母的最小公倍数，从而去掉分母，然后再作其它变形．

　　解：（1）方程两边都乘以4，去分母，得：

　　　

　　　 ，

　　　移项，得：

　　　 ，

　　　合并同类项，得：

　　　 ，

　　　系数化成1，得：

　　　

　　（2）方程两边都乘以12，去分母，得：

　　　

　　　

　　　去括号，得：

　　　

　　　移项，得：

　　　 ，

　　　合并同类项，得：

　　　

　　　系数化成1，得：

　　　

　　说明： ①去分母所选的乘数应是所有分母的最小公倍数，不应遗漏；

　　②用分母的最小公倍数去乘方程的两边时，不要遗漏掉等号两边不含分母的项．如（2）题的“1”．

　　③去掉分母以后，分数线也同时去掉，分子上的多项式用括号括起来（当式子前是正号时，可省略括号）．                      

　　例6 解方程：（1） ；

　　（2）

　　解：（1）移项，得：

　　　

　　　合并同类项，得：

　　　 ，

　　　移项，得

　　　

　　　合并同类项，得：

　　　

　　（2）先去中括号得：

　　　

　　　去小括号，得：

　　　 ，

　　　移项，得：

　　　 ，

　　　合并同类项，得：

　　　 ，

　　　系数化成1，得：

　　　

　　   说明： 在解方程时，要注意分析方程的结构特点，有针对性地确定解题方案，灵活地安排解题步骤．

　　例7 已知关于 的方程 的根是2，求 的值．

　　解法一：因为 是方程 的根，所以 代入方程左右两边一定相等，即：

　　　 ，

　　　解这个以 为未知数的方程，得：

　　　

　　　

　　解法二：把原方程看作以 为未知数的一元一次方程， 看作已知数求解；

　　　

　　　

　　　

　　　∵

　　　∴

　　　把 代入上式，得：

　　　

　　说明： 解法一是利用方程解的概念，将 代入原方程，使原方程转化为以 为未知数的一元一次方程，从而求出

　　解法二是将原方程直接看成以 为未知数的一元一次方程，解出 用字母 的代数式表示，再将 代入代数式中求得

　　* 例8  甲、乙两工程队共有100人，甲队人数比己队人数的3倍少20人．求甲、乙两队各有多少人？

　　分析：题中已知甲、乙两工程队共有100人，由此可知等量关系为：

　　甲队人数十动队人数=甲、乙两队总人数．

　　设乙队人数为x人，再分析上述相等关系中的左右两边，可得下表：

左边	右边
甲队人数（ ）人 乙队人数 人	甲、 乙两工程队 共有100人

　　有了这个表，方程就不难列出来了．

　　解：设乙队有 人，则甲队有 人

　　　根据题意，得

　　　

　　　解这个方程，得

　　答：甲队有70人；乙队有30人．

　　说明：（1）先弄清题意，找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再列出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理．

　　（2）所列方程两边的代数式的意义必须一致，单位要统一，数量关系一定要相等．

　　（3）要养成“验”的好习惯．即所求结果要使实际问题有意义．

　　（4）不要漏写“答”．“设”和“答”都不要丢掉单位名称．

　　（5）分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真．

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