第三节 等差数列前n项和

典型例题

　　例1.设某个等差数列共有12项，其中奇数项的和为78，偶数项的和为96，求这个数列的后五项的和.

　　分析：数列的后五项是一个等差数列，其首项为原数列的第八项，公差就是原数列的公差，所以应先求原数列的首项与公差.

　　解：设等差数列为 ，其首项为 ，公差为 ，奇数项构成以 为首项， 为公差的等差数列，偶数项构成以 为首项， 为公差的等差数列，于是有 化简得 解得 故 所以 .即这个等差数列后五项的和为125.

　　说明：在运用等差数列前 项和公式时依然要运用基本量的思想，把已知与所求都用基本量来表示，从而使题设与结论之间的关系明朗化.

　　例2.等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，若对一切正整数 都有 ，求 的值.

　　分析： 由 、 的通项公式可求得 、 的通项公式.

　　解法一：令 ，则当 时，有 ，所以

　　解法二：

　　说明： 等差数列前 项和 ，当公差 时， 是 的二次函数，且常数项为0，所以等差数列前 项和 的一般形式是 ，解法一就运用了这个形式；解法二则侧重等差数列前 项和公式的另一形式 ，是等差数列性质的应用.

　　例3.把正整数以下列方法分组：（1），（2，3），（4，5，6），…，其中每组都比它的前一组多一个数，设 表示第 组中所有各数的和，那么 等于（      ）.

    （A）1113　（B）4641　（C）5082　（D）53361

　　分析：第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数.

　　解：因为第 组有 个数，所以前20组一共有 个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数， ，故选 .

　　说明：认真分析条件，转化为数列的基本问题.

　　例4. 是等差数列 的前 项和， ，且 ， .求数列 的前 项和 的通项公式.

　　分析：因为 ，所以应确定 的首项及公差.

　　解：设 的首项为 ，公差为 ，则 ， ， ， ，由已知得 解得 所以 ， ， ，



 .

　　说明：本题中的条件较多，通过分析找出基本量，简化条件，同时明确解题方向. 求数列 的前 项和 使用的是裂项法，在第一节中曾经提到，在此复习为今后求极限作准备.

　　例5.设等差数列 的前 项和为 ，已知

　　（1）求公差 的取值范围；

　　（2）指出 中哪一个值最大，并说明理由.

　　分析：求 的取值范围应设法建立关于 的不等式（组）；找 中的最大值可根据 的函数式用函数方法解决，也可根据数列的项的变化情况来定.

　　解（1）： 的首项为 ，由已知有 将 代入后两个不等式，消去 得 .

　　（2）解法一：由 因为 ，则 ，可知 ，所以 中最大的是 .（另法： ，得 所以 所以 最大.）

　　解法二： ，二次函数 的对称轴方程为 ，由于 ，有 ，所以当 时， 最大.

说明：根据项的值判断前 项和的最值有以下结论：

　　①当 时， ，则 最小；

　　②当 时， ，则 最大；

　　③当 时， ，则 最小；

　　④当 时， ，则 最大.

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