江西省吉安市第一中学2016届高三下学期第一次段考

数学试题（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，集合
或
，
，那么阴影部分表示的集合为（ ）

A．
B．
或

C．
D．

2．设复数
在复平面内的对应点关于实轴对称，
，则
（ ）

A．
B．2 C．
D．

3．右图所示的程序运行后输出的结果是（ ）

A．
B．
C．0 D．1

4．如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么
（ ）

A．2 B．8 C．7 D．4

5．“吸烟有害健康，吸烟会对身体造成伤害”，哈尔滨市于2012年5月31日规定室内场所禁止吸烟．美国癌症协会研究表明，开始吸烟年龄
分别为16岁、18岁、20岁和22岁，其得肺癌的相对危险度
依次为15.10、12.81、9.72、3.21；每天吸烟
10支、20支、30支者，其得肺癌的相对危险度
分别为7.5、9.5和16.6．用
表示变量
与
之间的线性相关系数，用
表示
与
之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 在平面直角坐标系xOy中，已知
的顶点A(0，3)和C（0，-3），顶点B在椭圆
上，则
=（）

7．甲乙两人从4门课程中各选修两门，到甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）

A．30种 B．36种 C．60种 D．72种

8．如图是某一几何体的三视图，到该几何体的体积是（ ）

A．
B．1 C．
D．

9．已知点
在
的图象上，若满足
是
的最小值为5，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知点
是
外心，
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知点
在直线
上，点
在直线
上，线段
的中点为
，且
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
的定义域为
，若对于
，
分别为某个三角形的三边长，则称
为“三角形函数”．给出下列四个函数：

①
；②
；③
；④

其中为“三角形函数”的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分．第13题~第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．

13．二项式
的展开式中常数项为______．

14．在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是______．

15．若函数
（
为自然常数）的图象上存在点
满足约束条件
，则实数
的取值范围是______．

16．一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为______．

17．（本小题满分12分）

已知函数
．若
的最小正周期为
．

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）在
中，角
的对边分别是
，且满足
，求函数
的取值范围．

18．（本小题满分12分）

某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”．现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表：

期末分数段















人数

5

10

15

10

5

5



“过关”人数

1

2

9

7

3

4



（1）由以上统计数据完成如下
列联表，并判断是否有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”是否有关？说明你的理由．

分数低于90分人数

分数不低于90分人数

合计



过关人数









不过关人数









合计









（2）在期末分数段
的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人数为
，求
的分布列及数学期望．

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025





2.072

2.706

3.841

5.024





19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，
底面
，
，
为棱
上的一点，且
．

（1）证明：
平面
；

（2）证明：求二面角
的大小．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线
与以椭圆
的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设点
是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点
与点
关于原点
对称．设直线
的斜率分别为
，且
．

（ⅰ）求
的值；

（ⅱ）求
的值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
．（
为常数）．

（1）讨论函数
的单调性；

（2）若存在
，使得对任意的
，不等式
（其中
为自然对数的底数）都成立，求实数
的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆
与圆
交于
两点，以
为切点作两圆的切线分别交圆
和圆
于
、
两点，延长
交圆
于点
，延长
交圆
于点
．已知
．

（1）求
的长；

（2）求
．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
（
为参数）．

（1）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线，与曲线
相交于
、
两点，且
，求直线的倾斜角
的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
的最大值为
．

（1）求实数
的值；

（2）求关于
的不等式
的解集．

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/