NCS20160607项目第三次模拟测试卷

数 学（理）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
，集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．复数
（
是虚数单位）的共轭复数是

A．
B．
C．
D．

3．函数
的定义域为

A.
B.
C.
D.

4．
是
的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5．设函数
是周期为6的偶函数，且当
时
，则

A．
B．
C．
D．

6．设函数
，若
，则

A．
B．
C．
D．

7．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的

是某零件的三视图，则该几何体的体积是

A．
B．

C．
D．

8．若动圆的圆心在抛物线
上，且与直线y＋3＝0相切，

则此圆恒过定点

A. (0,2) B．(0，－3) C. (0,3) D．(0,6)

9．从1,2,3,4,5,6中任取三个数，则这三个数构成一个等差数列的概率为

A.
B.
C.
D.

10．阅读如右程序框图，运行相应程序，则程序运行后输出的结果

Ａ．97 B. 99 C. 100 D. 101

11. 已知双曲线：
的左、右焦点分别为

，焦距为2c , 直线
与双曲线的一个交点M

满足
, 则双曲线的离心率为

A．
B．
C．2 D．

12. 已知正△
三个顶点都在半径为
的球面上，球心
到平面
的距离为1，点E是线段
的中点，过点
作球
的截面，则截面面积的最小值是

A．
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．

13．已知
为等差数列，公差为
，且
是
与
的等比中项，
是
的前
项和，则
的值为 .

14．已知点A（1，2），点P（
）满足
， O为坐标原点，则
的最大值为 .

15．对大于或等于
的自然数的
次方可以做如下分解：
，
，
，……，根据上述规律，
的分解式中，最大的数是 ．

16．已知椭圆
的左、右顶点分别是
，
，左、右焦点分别是
，
，若
，则离心率
的取值范围是____________ ．

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知
中，内角A,B,C的对边分别为
，且
，

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，求
.

18．（本小题满分12分）

某单位有200人，其中100人经常参加体育锻炼,其余人员视为不参加体育锻炼. 在一次体检中，分别对经常参加体育锻炼的人员与不参加体育锻炼的人员进行检查．按照身体健康与非健康人数统计后，构成如下不完整的2×2列联表：

健康

非健康

总计



经常参加体育锻炼









不参加体育锻炼





100



总计





200



已知
是
展开式中的第三项系数，
是
展开式中的第四项的二项式系数．

（Ⅰ）求
与
的值；

（Ⅱ）请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“身体健康与经常参加体育锻炼有关”．

19．（本小题满分12分）

如图，矩形
中，
，将其沿
翻折，使点

到达点
的位置，且二面角
为直二面角.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）设
是
的中点，二面角
的平面角的大小为
，当
时，求
的取值范围.

20．（本小题满分13分）

已知两点
，
，
是曲线
上一动点，直线
斜率的平方差为
.

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）
是曲线
上不同的两点，
是线段
的中点，线段
的垂直平分线交曲线
于
两点，问
是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）若函数
存在单调减区间，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若
，证明：
，总有
。

请考生在第22 , 23 , 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分, 作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙
的弦
、
相交于
，过点
作⊙
的切线与
的延长线交于点
．
，
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）求⊙
的半径．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），以原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）写出直线
和曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）
是曲线
上任意一点，求
到直线
的距离的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）已知非零常数
、
满足
，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
，
恒成立，求常数
的取值范围．

NCS20160607项目第三次模拟测试卷

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

C

B

B

D

A

C

A

D

D

C



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．
14.
15.
16.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．

17．（本小题满分12分）

解:

…………………………3分

根据余弦定理得：

……………………………7分

（Ⅱ）

，

,

,

，…………………………………………………… 10分

又
，

…………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵
的展开式通项是
， ………1分

∴展开式的第三项是：
，

即第三项系数是
． …………3分

又∵展开式的第四项的二项式系数为
，

∴
． …………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
，则

健康

非健康

总计



经常参加体育锻炼

40

60

100



不参加体育锻炼

10

90

100



总计

50

150

200





=24
6.635, …………11分

,

所以按照99%的可靠性要求，能够判断“身体健康与经常参加体育锻炼有关”． ……12分

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）
二面角
为直二面角，

平面
……………2分

平面
…………4分

平面
平面
…………6分

（Ⅱ）解法1：如图，以
为坐标原点，以
长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则

……………7分

则

设平面
的法向量为
，则
，

取
，则
………………………………9分

同理设平面
的法向量为
………………………………10分

………………………………11分

……………………12分

20．（本小题满分12分）

解：（I）设
是曲线
上任意一点，

则直线
的斜率是
，直线
的斜率是
，………………2分

由已知有，
，化简有
，

故曲线
的方程是
.………………4分

（Ⅱ）
，
是抛物线上的点，则
，
，
，

所以直线
的方程是
，直线
的方程是
，………………6分

联立
，得