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2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学 Ⅰ

参考公式

圆柱的体积公式：V圆柱＝Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高．

圆锥的体积公式：V圆柱＝Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 ▲ ．

2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ▲ ．

3．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为 ▲ ．

4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．

5．袋中有形状?大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只

黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率

为 ▲ ．

6．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值

为 ▲ ．

7．不等式2 ＜4的解集为 ▲ ．

8．已知tan(＝－2，tan((＋()＝，则tan(的值为 ▲ ．

9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2?高为8的圆柱各一个．若将

它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新

的底面半径为 ▲ ．

10．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切

的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．

11．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{}的前10项和为 ▲ ．

12．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线

x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 ▲ ．

13．已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝，则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根

的个数为 ▲ ．

14．设向量ak＝(cos，sin＋cos)(k＝0，1，2，… ，12)，则(ak·ak＋1)的值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分14分)

在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°．

（1）求BC的长； `

（2）求sin2C的值．

16．(本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1．设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E．

求证：（1）DE//平面AA1C1C；

（2）BC1⊥AB1．

17．(本小题满分14分)

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连

接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，

计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5

千米和40千米，点N到l1，l2，的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2，所在的直线分别为

x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．

①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短?求出最短长度．

18．(本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦

点F到左准线l的距离为3．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平

分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，

求直线AB的方程．

19．(本小题满分16分)

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．

（1）试讨论f(x)的单调性；

（2）若b＝c－1(实数c是与a无关常数)，当函数f(x)有三个不同零点时，a的取值

范围恰好是(－∞，－3)∪(1，)∪(，＋∞)，求c的值．

20．(本小题满分16分)

设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．

（1）证明:2，2，2，2依次成等比数列；

（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次成等比数列，并说明理由；

（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n＋k，a3n＋2k，a4n＋3k依次成等比数列?并说

明理由．

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数 学 Ⅱ(附加题)

21．[选做题]本题包括A?B?C?D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作

答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明?证明过程或演算步骤．

A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)

如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆圆O的弦AE交BC于点D．

求证：△ABD∽△AEB．

B．[选修4－2:矩阵与变换](本小题满分10分)

已知x，y∈R，向量(＝是矩阵A＝的属性特征值－2的一个特征向量，矩

阵A以及它的另一个特征值．

C．[选修4－4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)

已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin(θ－)－4＝0，求圆C的半径．

D．[选修4－5:不等式选讲] (本小题满分10分)

解不等式x＋|2x＋3|≥2．

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

22．如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，

∠ABC＝∠BAD＝．PA＝AD＝2，AB＝BC＝1．

（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长．

23．已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，···，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b，或b整

除a，a∈X，b∈Yn}．令f(n)表示集合Sn所含元素个数．

（1）写出f(6)的值；

（2）当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．