福州一中2014-2015学年高三校质检试卷理 科 数 学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式

s=
V=
Sh

其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集
，
，
，则图中阴影部分表示的集合为

A．
B．

C．
D．
（第1题图）

2.若
（为虚数单位），则的值为

A. B.
C.
D.

3.设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为
，则该双曲线的离心率等于

A． B．
C．
D．

4.已知公差不为
的等差数列
满足
成等比数列，
为数列
的前项和，

则
的值为

A． B．
C．
D．

5.下列判断不正确的是

A．若
，则

B．命题“
”的否定是“
”

C．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样

D．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等

6.函数
的最小正周期是，若其图象向右平移
个单位后得到的函数为奇函数，则函数
的图象

A．关于点
对称 B．关于直线
对称

C．关于点
对称 D．关于直线
对称

7．设点（
）是区域
内的任意一点，则函数
在区间
上是增函数的概率为

A．
B．
C．
D．

8.如图，在棱长均为的四棱锥
中，点为

的中点，则下列命题正确的是（ ）

A．
∥平面
，且直线
到平面
的距离为

B．
∥平面
，且直线
到平面
的距离为

C.
与平面
不平行，且直线
与平面
所成的角大于
第8题图

D.
与平面
不平行，且直线
与平面
所成的角小于

9．称
为两个向量
间的“距离”.若向量
满足：

①
； ②
； ③对任意的
，恒有
．

则以下结论一定成立的是

A．
B．
C．
D．

10．已知抛物线
：
，圆
：
（其中为常数，
）.过点
的直线
交圆
于
、两点，交抛物线
于、两点，且满足
的直线
有且只有三条的必要条件是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11．若
．

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ．

13．在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时

该物体位于点，一分钟后，其位置在
点，且
，

再过两分钟后，该物体位于点，且
，

则
的值为 ．

14．在
的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为
，则当
时，
等

于 ．

15．已知为
上的任意实数，函数
，
，
．

则以下结论：

①对于任意
，总存在
，


，使得
；

②对于任意
，总存在
，


，使得
；

③对于任意的函数
，


，总存在
，使得
；

④对于任意的函数
，


，总存在
，使得
．

其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有答案序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分）

甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次



甲

58

55

76

92

88



乙

65

82

87

85

95



（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；

（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为
，求随机变量
的分布列和期望
．

17．（本小题满分13分）

如图，四边形
与
均为菱形，设
与

相交于点
，若
，且
.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

（第17题图）

18．（本小题满分13分）

设
，函数
，且
．

（Ⅰ）求
的单调递减区间；

（Ⅱ）设锐角△
的内角、、
所对的边分别为、
、，

且
，求
的取值范围．

19．（本小题满分13分）

已知
，
为椭圆
的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆
上异

于，的动点，且
面积的最大值为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）直线
与椭圆在点处的切线交于点，当直线
绕点转动时，试判断以
为直径的圆与直线
的位置关系，并加以证明．

20．（本小题满分14分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）求函数
的图象在点
处的切线方程；

（Ⅱ）判断函数
的零点个数，并说明理由；

（Ⅲ）已知数列
满足：
，
，且
．若不等式
在
时恒成立，求实数的最小值.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵
的一个特征值所对应的特征向量为
.

（Ⅰ）求矩阵
的逆矩阵；

（Ⅱ）求曲线
：
在矩阵
对应变换作用下得到的新的曲线方程.

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（为参数）．在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）将直线
的参数方程和圆
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
和曲线
相交于、两点，求
的长.

（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲

已知正数，
，满足
．

（Ⅰ）求
的最大值
；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式
恒成立，求实数的取值范围．

福州一中2014-2015学年高三校质检理科数学参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

C

A

D

B

C

D

B

D



一、选择题：

二、填空题：

11.
12.
13.
14.
15. ①④

选择题10简解：依题意可设直线
：
，（1）代入
，得
，△=
，把（1）代入
得
，设
，
，
，
，

，即
，

若
，则
，
.若
，则
，即
，即
，故当
时，
有三条．从而本题应该选D.三、解答题：

16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分

（Ⅱ）随机变量
的所有可能取值为
．

，
，

，…………………10分

随机变量
的分布列是：




















．…………………………………………………13分

17.（I）证明：因为四边形
与
均为菱形，

所以
，
.

因为
，
，

所以
，
…………………………………………………2分

又
，
，
，

所以
又
，

所以
…………………………………………………………………………4分

（II）连接
、
,因为四边形
为菱形，且
，

所以
为等边三角形，

因为
为
中点.所以
，

又因为
为
中点,且
，

所以

又
，所以
………………………………………………6分

由
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系

设
，因为四边形
为菱形，
，

则
，
，
，所以

…8分

所以
设平面
的一个法向量为
，则有
,所以
，

令
，则
…………………………………………………………………10分

因为
，所以平面
的一个法向量为
.

因为二面角
为锐二面角，设二面角的平面角为
，

则
.

所以二面角
的余弦值为
…………………………………………………13分

18．解：（I）
…………2分

由
得：
，∴
…………………………………4分

∴
……………………………………………5分

由
得：
，

∴
的单调递减区间为：
，
………………………………7分

（II）∵
，由余弦定理得：
，

……………………………………………………………………………………………8分

即
，由正弦定理得：

，

，
，∴
…………………………11分

∵△
锐角三角形，∴
，
…………………………12分

∴
的取值范围为
． …………………………………………13分

19.解：（Ⅰ）由题意可设椭圆
的方程为
，
．

由题意知解得
，
．

故椭圆
的方程为
.…………………………………………………………4分

（Ⅱ）以
为直径的圆与直线
相切．…………………………………………………5分

证明如下：由题意可设直线
的方程为

.

则点坐标为
，
中点的坐标为
．

由
得
．

设点的坐标为
，则
．

所以
，
． ……………………………8分

因为点坐标为
，

当
时，点的坐标为
，点的坐标为
.

直线
轴，此时以
为直径的圆
与直线
相切．

……………………………………………………………………………………………9分

当
时，则直线
的斜率
.

所以直线
的方程为
．………………………………………10分

点到直线
的距离

．

又因为
，所以
．

故以
为直径的圆与直线
相切．

综上得，当直线
绕点转动时，以
为直径的圆与直线
相切．………13分

20. 解:（Ⅰ）
，……………………………1分

，又
，

所以函数
在
的切线方程为
，

即
.……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）

当
时，
所以
在
单调递减；

当
时，
所以
在
单调递增；

所以
时，
.……………………………………………5分

①当
，即
时，
的零点个数为0；

②当
，即
时，
的零点个数为1；

③当
即
时，此时
，
，

（或
）

因为
在定义域上连续，由零点存在定理及
的单调性，

知
在
有且只有一个零点，
在
有且只有一个零点，

所以
时，
的零点个数为2.

综上所述，当
时，
的零点个数为2；
时，
的零点个数为1；
时，
的零点个数为0. …………………………………………………………………9分

(Ⅲ)
当
时，有
.

所以
.………………………10分

接下来证明:
.

由(I)知，函数
在
的切线方程为
.

而当
时，
成立.

所以，当
时,有
………………12分

所以，

所以，当
时，
的最大值为
.

再由(II)知，

得

所以的最小值为
.……………………………………………………………14分

21．解：（1）（Ⅰ）依题意，
，
，所以
，
.…2分

所以
.因为
，所以
.………………………………4分

（Ⅱ）曲线
：
上任意一点
在矩阵
对应变换作用下

得到
，则
，得
，即
，

代入方程
得
.

因此，曲线
在矩阵
对应变换作用下得到的新的曲线方程为
.…………7分

（2）（Ⅰ）由
，得直线
的直角坐标方程为：
.………………2分

由
，得
，

，得曲线
的直角坐标方程为：
.……4分

（Ⅱ）圆心
到直线
的距离
，圆的半径
,

.……………………………………………………7分

（3）（Ⅰ）由柯西不等式，
，

即有
，……………………………………………………………………2分

又、
、是正数，

即
的最大值为6，

当且仅当
，即当
时取得最大值．……………………………4分

（Ⅱ）因为
，

由题意及（Ⅰ）得，
，得
或
.

综上，实数的取值范围为
或
.……………………………………………7分