2015年厦门市高三适应性考试数学（理科）试卷

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名．

2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1． 复数
（为虚数单位）的共轭复数是

A.
B.
C.
D.

2． 随机变量
，则
=

Ａ.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718

（参考数据：
，
，
）

3． 直线
恰好经过椭圆
的右焦点和上顶点，则椭圆的离心率等于

A.
B.
C.
D.

4． 已知函数
的图像如图所示，则
的解析式可能是

5．已知实数
满足
，则
的取值范围是

6． 命题
函数
在
上的值域为
；命题

.

下列命题中，真命题的是

A．
B．
C．
D．

7． 已知数列
满足: 当
时，
，则
的前
项和

8．如图，圆
与轴的正半轴的交点为，点，
在圆
上，点的坐标为
，点
位于第一象限，
．若
，

则
=

9． 如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，

动点M、N、Q分别在线段
上.

当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，

三棱锥Q-BMN的正视图面积等于

A.
B.

C.
D.

10．如图所示，由直线
及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即
.类比之，

,
恒成立,

则实数等于

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11．阅读如图所示的程序，该程序输出的结果是　　▲　　．

12．设
,

则
　　▲　　．

13．一个口袋内有5个不同的红球，4个不同的白球.若取一个红球记2分，

取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于7分的取法有　▲　种.

14．如图，在
中，
,
，过点D的直线分别交

直线AB，AC于点M，N.若
，

则
的最小值是　　▲　　．

15．十八世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出投针问题：在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求得此针与平行线中任一条相交的概率
（为圆周率）.

已知
，
，现随机掷14根相同的针（长度为
）在这个平面上，记这些针与平行线（间距为）相交的根数为，其相应的

概率为
.当
取得最大值时，
　　▲　　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分）

如图，平面直角坐标系
中，

,
，
的面积为
.

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）若函数
的图象经过
三点，其中
为
的图象与轴相邻的两个交点，求函数
的解析式.

17．（本小题满分13分）

如图，梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB．将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC.

（Ⅰ）若BE＝3，在线段AD上一点取一点P，使
，求证：CP∥平面ABEF；

（Ⅱ）若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA,FC,FD的长成等比数列，求二面角E－AC－F的大小．

18．（本小题满分13分）

某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元.根据以往经验：今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半.现有两种采摘方案：

方案①：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；

方案②：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为3.2万元.

根据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%.每天是否下雨不相互影响.

（Ⅰ）若采用方案①，求茶厂14日当天采茶的预期收益；

（Ⅱ）从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理.

19．（本小题满分13分）

如图，抛物线E:
的焦点为，其准线
与轴交于点，

过抛物线E上的动点作
于点.

当
时，
.

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）过点作直线

，求直线与抛物线E的交点个数；

（Ⅲ）点C是
的外心，是否存在点，使得
的面积最小.若存在，请求出面积的最小值及P的坐标；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分14分）

已知函数
（e为自然对数的底数）.

（Ⅰ）讨论
的单调性；

（Ⅱ）定义：函数
的定义域为，若
，使
成立，则称
为
的不动点.

当
时，

（ⅰ）证明：函数
存在唯一的不动点
，且
；

（ⅱ）已知数列
满足
，

求证：
，（其中
为
的不动点）.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵
，的一个特征值
.

（Ⅰ）求矩阵；

（Ⅱ）在平面直角坐标系中，点
依次在矩阵所对应的变换和关于轴的反射变换的作用下得到点
，写出复合变换
的变换公式，并求出点
的坐标.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程为
.以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
(为参数).

（Ⅰ）判断直线
与曲线
的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）若直线
和曲线
相交于
两点，且
，求直线
的斜率.

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知
，
的最小值为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）解关于的不等式
.

2015年厦门市高中毕业班适应性考试

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

A

A

B

D

B

D

B

C





二、填空题：

题号

11

12

13

14

15



答案

27

31

45



4或5



三、解答题：

16．本题考查解三角形和三角函数图象及性质等知识，考查学生运算求解能力、数据处理能力及推理论证能力，考查学生数形结合思想、函数与方程思想及转化与化归思想，属于中档偏易题.本题满分13分.

解：（Ⅰ）∵
，
，∴
，
，
1分

又∵
的面积为
，∴


， 2分

∴
. 3分

在
中，
，
，

由余弦定理得：
， 4分

即
，整理得
，

∴
，或
(舍去)，∴
的长为
. 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
， 7分

∵函数
的图象经过
三点，其中
为
的图象与轴相邻的两个交点，

∴函数
的半个周期
，对称轴为
， 9分

∴
，

∵
，∴
， 10分

∴
，∴
，

又∵
，∴
， 11分

∴
，

又∵
，∴
， 12分

∴函数
的解析式是
. 13分

17．本题以翻折的图形为载体，考查空间点、线、面位置关系、线面平行证明及求二面角大小等有关基础知识，同时结合考查数列知识．本题考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，考查数形结合和化归与转化等数学思想方法. 本题满分13分.

解：（Ⅰ）证法一：在梯形ABCD中，

AD∥BC， EF∥AB ，BE＝3，∴AF=3，

又AD＝6，BC＝4，∴EC=1，FD=3， 1分

在线段AF上取点Q，使
，连接
, 2分

∵
，∴
，

∵
，∴
， 3分

∴四边形ECPQ为平行四边形，∴
， 4分

∵
平面ABEF，
平面ABEF，∴CP∥平面ABEF. 5分

证法二：同证法一，EC=1，FD=3， 1分

延长DC交FE的延长线于点M，连接
，则
， 2分

∵
，∴
， 4分

∵
平面ABEF，
平面ABEF，∴CP∥平面ABEF. 5分

证法三：同证法一，EC=1，FD=3， 1分

在线段DF上取点R，使
，连接PR，CR，

∵
，∴
，

∵
平面ABEF，
平面ABEF，∴PR∥平面ABEF; 2分

∵
， ∴

∵
， ∴四边形ECRF为平行四边形，∴
，

∵
平面ABEF，
平面ABEF，∴CR∥平面ABEF; 3分

∵
，∴平面
平面
， 4分

∵
平面PRC，∴CP∥平面ABEF. 5分

（Ⅱ）解法一：在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，∴EF⊥AF， EF⊥FD，

∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF
平面EFDC=
，AF平面EFDC，

∴AF⊥平面EFDC， 6分

设
，

∵EF＝BA＝2，∴
，

∴
， 7分

∵线段AF， FC，FD的长成等比数列，∴
，

，化简得
，

∴
或
（舍）， 9分

以F为原点，FE，FD，FA分别为
轴建立空间直角坐标系，如图，

则
，
，
，
，
， 10分

∴
，
，

设
是平面ACE的一个法向量，

则
，即
，

取
，则
，∴
； 11分

又
，
，

设
是平面ACF的一个法向量，

则
，即
，

取
，则
∴
； 12分

∴
，

∵ 二面角E-AC-F为锐角， ∴二面角E-AC-F为
. 13分

解法二：同解法一得
或
（舍）， 9分

，

∵
，∴
，

设点G为FC的中点，连接
，则
， 10分

∵AF⊥平面EFDC，
平面AFC，∴平面AFC平面EFDC，

∵平面AFC
平面EFDC=
，∴EG⊥平面AFC，

∵
平面AFC ， ∴EG⊥AC， 11分

过G作GH⊥AC交AC于H，连接EH，

∵EG
GH=G， ∴AC⊥平面EGH，

∵EH平面EGH，∴AC⊥EH，

∴
是二面角E-AC-F的平面角， 12分

在
中，
，

在
中，
，∴
，
，∴
，

∵
为锐角， ∴
，即二面角E－AC－F为
. 13分

18．本题考查概率概念及其意义，独立事件，对立事件和互斥事件的概率，随机变量的分布列及数学期望等相关知识；考查运算求解能力，数据处理能力和应用意识，考查转化与化归和必然与或然等数学思想方法. 本题满分13分.

解：(Ⅰ)设茶厂14日当天采茶的预期收益为
万元，则
的可能取值为6，3，1.5 1分

4分

所以
的分布列为

6

3

1.5













 5分

所以
的数学期望为
，

即茶厂14日当天采茶的预期收益为3.84万元. 6分

(Ⅱ)茶厂若采用方案①，设茶厂第二天采茶的预期收益为万元，则的可能取值为6和3，

因为
， 7分

所以的分布列为



3











 8分

所以的数学期望为
， 9分

所以茶厂若采用方案①则其采茶总收益为
， 11分

茶厂若采用方案②则其采茶总收益为
， 12分

因为14.64<14.8，所以茶厂应该采用方案②收益高，风险小，和谐社会，提供就业岗位. 13分

19．本题考查抛物线定义，直线方程，直线方程与抛物线、圆的位置关系等知识，考查学生运算求解能力、推理论能力、抽象概括能力，考查数形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想. 本题满分13分.

解：(Ⅰ)过点作
轴于点
，当
时，
，
，

， 1分

中，
， 2分

.
，即
， 3分

抛物线E的方程：
， 4分

（也可由余弦定理求得
，在
中，
，即
）

(Ⅱ) 解法一：当点为原点
时，直线的方程：
与抛物线E切于点
；

设
，则
，
，
，
， 5分

直线
，化简得：
，

代入
得
， 6分

，
（
）， 7分

直线与抛物线E有且只有一个交点. 8分

解法二：由(Ⅰ)得
，设
，则
， 5分

，
，直线
，即
， 6分

代入
中，得
， 7分

，直线与抛物线E有且只有一个交点. 8分

（Ⅲ）解法一：由已知得DP的中垂线：
，与直线:
联立，

得到圆心C的纵坐标
， 9分

，

又
，则
， 10分

不妨设
（
），

， 11分

由
得
，由
得
，

当
时，函数
有最小值；

当点的坐标为
或
时， 12分

取得最小值. 13分

解法二：由(Ⅱ)得DP的中垂线：
，又直线:
垂直平分
，

圆心C的纵坐标：
， 9分

，又
，

则
， 10分

不妨设
（
），

， 11分

在
递减，在
递增；当
时，函数
有最小值；

当点的坐标为
或
时， 12分

取得最小值. 13分

解法三：设
外接的圆C半径为，
，不妨设
，

，
, 9分

由正弦定理得：
，

，又
，

，则
. 10分

以下解法同上.

20．本小题主要考查函数的零点、函数的单调性、函数的最值、导数及其应用等基础知识，考查归纳猜想、推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．本题满分14分．

解：（Ⅰ）
， 1分

当
时，
，
在R上单调递增； 2分

当
时，令
，得
；令
，得
；

所以
在
单调递减，在
单调递增. 4分

（Ⅱ）（ⅰ）证法一：依题意，只需研究关于x的方程
在R+上根的个数，

而
，

记
，即
， 5分

，

由（Ⅰ）知，当
时，
，即
，

，

在R+上单调递增； 7分

又
8分

函数
的图像在R+上连续不断，存在唯一
，使得
，

函数
在R+上存在唯一的不动点
，且
. 9分

证法二：依题意，只需研究关于x的方程
在R+上根的个数，

而
，

记
，即
， 5分

，
，

，
，
， 6分

在R+上单调递增，
，

在R+上单调递增； 7分

以下同证法一. 9分

（ⅱ）证法一：要证不等式
成立，

只需证
成立，即证
.…（*） 10分

下面用数学归纳法证明：
.

①当
时，由（Ⅰ）得，
在
上单调递增，

由（ⅰ）得，
，
，又
，
，

即
，
时，结论成立. 11分

② 假设
时，结论成立，即
，

在
上单调递增，且
，
，
，

又
，所以
，
，

，即
.
时，结论成立.

根据①，②可得，
. 12分

所以要证不等式（*）成立，只需证
成立，

即证
. …………（**）

记
，
，当且仅当
取到等号， 13分

在
上单调递增，

，
，即（**）式成立.

，命题得证. 14分

证法二：要证不等式
成立，

只需证
成立，只需证
. ………（*） 10分

下面用数学归纳法证明：
.（过程、得分同证法一） （此步骤共2分）12分

所以要证不等式（*）成立，只需证
成立，

即证
. …………（**）

记
，
， 13分

又
在
上单调递增，
，

，当且仅当
取到等号，
在
上单调递增，

，
，即（**）式成立.

，命题得证. 14分

证法三：要证不等式
成立，

只需证
成立， 10分

下面用数学归纳法证明：
.（过程、得分同证法一） （此步骤共2分）12分

所以要证不等式（*）成立，只需证
成立，

即证
. …………（**）

记
，
， 13分

又
在
上单调递增，
，

，即
当且仅当
取到等号，

在
上单调递增，

，
，即（**）式成立.

，命题得证. 14分

21．（1）本题考查矩阵与变换、矩阵的乘法等知识；考查运算求解能力；函数与方程数学思想．满分7分.

解：（Ⅰ）解法一：矩阵的特征多项式
， 2分

，
，解得
，
3分

解法二：设属于矩阵的特征值
的一个特征向量为
，

则
，即
， 2分

即
，整理得
，
为非零向量，则
，所以
，

3分

（Ⅱ）设关于轴的反射变换对应的矩阵为，则
， 4分

复合变换
对应的矩阵为

， 5分

复合变换
的变换公式为
， 6分

将
代入
的变换公式，得
，
的坐标为
. 7分

（2）本小题主要考查直线的参数方程及其几何意义、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；数形结合思想．满分7分．

解：(Ⅰ)
，
， 1分

曲线
的直角坐标方程为
，即
， 3分

直线
过点
，且该点到圆心的距离为
，直线
与曲线
相交. 4分

(Ⅱ)解法一：当直线
的斜率不存在时，直线
过圆心，
， 5分

则直线
必有斜率，设其方程为
，即
，

圆心到直线
的距离
， 6分

解得
，直线
的斜率为
. 7分

解法二：将
代入
，得
，

整理得，
， 5分

设
两点对应的参数分别为
，则
，

， 6分

不妨设为直线的
的倾斜角，则
，则
或
，直线
的斜率为
. 7分

（3）本小题主要考查利用二元和三元基本不等式求最值、绝对值不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力；化归与转化、分类与整合的思想．满分7分．

解：（Ⅰ）
，
1分

①

而
② 2分

③ 3分

当且仅当
时， ①式等号成立；当且仅当
时，②式等号成立；

则当且仅当
时，③式等号成立，即
取得最小值
. 4分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知
，则
，即
，

， 5分

解得
6分

原不等式的解集为
. 7分