福州八中2014—2015学年高三毕业班第九次质量检查数学(理)试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2015.5.4

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差

s=
其中为样本平均数

锥体体积公式 V=
Sh 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式V=Sh 其中S为底面面积，h为高

球的表面积、体积公式
，
其 中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

1.设全集
等于

A.
B.
C.
D.

2.设是虚数单位，复数
为

A.
B.
C.
D.

3．下列四个结论：

①若
，则
恒成立；

②命题“若
，则
”的逆命题为“若
，则
”；

③“命题
为真”是“命题
为真”的充分不必要条件；

④命题“
”的否定是“
”．

其中正确结论的个数是

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4.设等差数列
的前n项和为
，则当
取最小值时，n等于

A.9 B.8 C.7 D.6

5．已知抛物线
的焦点与双曲线
的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

6．已知函数
的图象大致为

7. 三棱锥
及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为

A.

B.

C.

D.

8.在区间
上随机取一个数，则事件“
”发生的概率为

A．
B．
C．
D．

9. 已知点
，
为坐标原点，点
的坐标，满足
，则向量
在向量
方向上的投影的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10.己知定义在上的可导函数
的导函数为
，满足
，且
为偶函数，
，则不等式
的解集为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11．
展开式中的常数项为 ．

12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 __________________.

13．有4本不同的书，其中语文书1本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排摆成一排，则同一科目的书不相邻的摆法有_______种.（用数字作答）

14.在
中，
，则
_________.

15.已知有限集
.如果A中元素
满足
，就称A为“复活集”，给出下列结论：

①集合
是“复活集”；

②
是“复活集”，则
；

③
不可能是“复活集”；

④若
，则“复活集”A有且只有一个，且
.

其中正确的结论是___________.（填上你认为所有正确的结论序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分13分）

已知函数
满足
.

（Ⅰ）求实数
的值以及函数
的最小正周期；

（Ⅱ）记
，若函数
是偶函数，求实数的值.

17.（本小题满分13分）

在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）

篮球

排球

总计



男同学

16

6

22



女同学

8

12

20



总计

24

18

42



（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？

（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．

①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；

②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．

下面临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



参考公式：

18.（本小题满分13分）

如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体
的四个侧面，记底面上一边
，连接
，
，
.

(Ⅰ) 当长方体
的体积最大时，求二面角
的值；

(Ⅱ)线段
上是否存在一点，使得
平面
，若有，求出点的位置，没有请说明理由.

19. （本小题满分13分）

已知圆
经过

椭圆
的左右焦点
，
，且与椭圆
在第一象限的交点为，且
，，三点共线，直线
交椭圆
于
，
两点，且
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）当三角形
的面积取到最大值时，求直线
的方程.

20.（本小题满分14分）

　 设函数
。

（Ⅰ）求函数f（x）的导函数
；

（Ⅱ）若
为函数f（x）的两个极值点，且
，试求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅲ）设函数f（x）的点C（
）（
为非零常数）处的切线为
，若函数f（x）图象上的点都不在直线
的上方，求
的取值范围。

21．本题有（1）、（2）、（2）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多2做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知
，若矩阵
所对应的变换
把直线
变换为它自身.

（Ⅰ）求矩阵；

（Ⅱ）求矩阵的逆矩阵.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以
为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
.

（Ⅰ）求
的直角坐标方程；

（Ⅱ）当
与
有两个公共点时，求实数的取值范围.

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的定义域；

（Ⅱ）当函数
的定义域为时，求实数的取值范围.

福州八中2014—2015学年高三毕业班第九次质量检查

数学(理)试卷参考答案及评分标准

一、选择题

CABCC ABCDB

二、填空题

11．112 12．
13．12 14.2 15.①③④

三、解答题

16.解：（Ⅰ）由
，得
……2分，解得
…3分

将
代入

得

所以

……4分

…………5分

所以函数
的最小正周期
…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
，

所以
……8分

函数
是偶函数，则对于任意的实数，均有
成立。

所以
…………9分

整理得，
……（*）………………10分

（*）式对于任意的实数均成立，只有
，解得
，

所以
，
…………13分

17.解：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值

k≈4.582>3.841. ……2分

所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．…4分

（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．

方法一：令事件A为“甲被抽到”；事件B为“乙丙被抽到”，则

P(A∩B)
，P(A)
.

所以P(B|A) 
 . ……7分

方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，

则P(C)
.

②由题知X的可能值为0，1，2.

依题意P(X0)
；P(X1)
；P(X2)
.

从而X的分布列为

X

0

1

2



P









 ……11分

于是E(X) 0×＋1×＋2×. ……13分

18.解： 根据题意可知，AA1, AB,AD两两垂直，以AB为轴，AD为轴，AA1为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

（Ⅰ）长方体体积为
……………………2分

当且仅当
，即
时体积
有最大值为1 ………………………………3分

所以当长方体
的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形 …4分

则
，

设平面A1BC的法向量
，则

取
，得：
………………6分

同理可得平面A1CD的法向量
……7分

所以，
………………8分

又二面角
为钝角，故值是
.…………9分

（也可以通过证明B1A平面A1BC写出平面A1BC的法向量）

（Ⅱ） 根据题意有
，若线段
上存在一点满足要求，不妨
，可得

即：
…………………………11分

解得：
…………………………………………………………12分

即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点，位置是线段
上
处. ……………………………………13分

19. （Ⅰ）解：如图圆经过椭圆
的左右焦点
,

三点共线,
为圆的直径,

,
,
………2分

,

，解得
， ………4分

椭圆
的方程
， ………5分

（Ⅱ）点的坐标

， 所以直线
的斜率为
， ………6分

故设直线
的方程为

，设

，
………8分

………9分

点到直线
的距离
………10分

12分

当且仅当
，即
，直线
的方程为
………13分

20 .

21．（1）本题考查矩阵与变换、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．

解： （Ⅰ） 法一：设
为直线
上任意一点其在的作用下变为

则

-----------3 分

代入
得：

其与
完全一样得

则矩阵
-------------5分

法二：在直线
上任取两点（2、1）和（3、3）， -------1分

则
,即得点
,

,即得点
, ----------------3 分

将
和
分别代入
得

则矩阵
． ---5 分

（Ⅱ）因为
，所以矩阵M的逆矩阵为
． -------7分

（2）本题考查直线与圆的极坐标与参数方程，极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想及数形结合思想．

解：（Ⅰ）曲线
的极坐标方程为
,

∴曲线
的直角坐标方程为
． ------------------------3分

（Ⅱ）曲