2015上海高考压轴卷理科数学

填空题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．把答案填在答题卡的相应位置

1.已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B=　　．

2.复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=　　．

3.已知幂函数
Z
为偶函数，且在区间
上是单调增函数，则
的值为?????????????? ．

4.已知
，则
的值为????????????? ．

5.如图，在
中，
是
边上一点，
，则
的长为????

6.

围是__________________.

7.已知函数
（其中
）经过不等式组
所表示的平面区域，则实数的取值范围是? ???? ? ．

8.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.

9. 右图是一个算法的流程图，最后输出的k=_____________.

10. 已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为

______________.

11.若曲线
与曲线
在
处的两条切线互相垂直，则实数a的值为???? ．

12.两曲线
所围成的图形的面积是_________.

13. 已知F1、F2为双曲线
的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，下列四个命题：①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=3上；②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=2上；③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；④△PF1F2的内切圆必过（3，0）．其中真命题的序号是__________________.

14.给出如下五个结论：

①若
为钝角三角形，则

②存在区间（
）使
为减函数而
＜0

③函数
的图象关于点
成中心对称

④
既有最大、最小值，又是偶函数

⑤
最小正周期为π

其中正确结论的序号是??????????? .

选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

15. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=32，则a2+a7=（　　）

A.1 B.4 C.8 D.9

16. 已知向量a，b的夹角为
，
，且对任意实数x，不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

17.已知
展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则

A．
?????? B．
???????? C．
???????? D．

18.已知
,若
在
上恒成立,则实数的取值范围是(? )

A.
????? B.
?????? C.
????? D.

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

19.（本小题满分14分）

如图4，在边长为的菱形
中，
，点，分别是边
，
的中点，
，沿
将△
翻折到△
，连接
，得到如图5的五棱锥
，且
.

（1）求证：
平面
；

（2）求二面角
的正切值.

20.（15分）（2015?嘉兴一模）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R）满足条件：①当x∈R时，f（x）的最大值为0，且f（x﹣1）=f（3﹣x）成立；②二次函数f（x）的图象与直线y=﹣2交于A、B两点，且|AB|=4

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）求最小的实数n（n＜﹣1），使得存在实数t，只要当x∈[n，﹣1]时，就有f（x+t）≥2x成立．

21.（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥
的底面为菱形，
.

（1）求证：
;

（II）求二面角
的余弦值.

22已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．

（Ⅰ）若k=1，且|AB|=
，求实数a的值；

（Ⅱ）若
=2
，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．

23.（本小题满分12分）

??? 已知函数

? ( I)判断函数g(x)的单调性；

? (Ⅱ)是否存在实数m，使得
对任意x≥1恒成立，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

2015上海高考压轴卷数学理word版参考答案

1.{3，4}

解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，

∴则A∩B={3,4}

2.4﹣3i

3.16

4.

5.
??

6.

7.

8.

9.11

10.

11.

12.

13.①④

14.③④

15.c

16.C

17.A

18.D

19.（1）证明见解析；（2）
.

试题分析：（1）由
，
，可证
平面
，进而可证
平面
；（2）先建立空间直角坐标系，再计算平面
和平面
的法向量，进而可算出二面角
的平面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系，即可得二面角
的平面角的正弦值.

试题解析：（1）证明：∵点，分别是边
，
的中点，

∴
∥
.??????????????????????????????? …………………………1分

∵菱形
的对角线互相垂直，

∴
.

∴
.

∴
，
.??????????????????? …………………………2分

∵
平面
，
平面
，
，

∴
平面
.????????????????????????? …………………………3分

∴
平面
.????????????????????????? …………………………4分

（2）解法1：设
，连接
，

∵
，

∴△
为等边三角形.

∴
，
，
，
. ……5分

在R t△
中，
，

在△
中，
，

∴
.????????????????????????????????? …………………………6分

∵
，
，
平面
，
平面
，

∴
平面
.?????????????????????????? …………………………7分

过
作
，垂足为
，连接
，

由（1）知
平面
，且
平面
，

∴
.

∵
，
平面
，
平面
，

∴
平面
.??????????????????????????? …………………………8分

∵
平面
，

∴

.????????????????????????????? ??? …………………………9分

∴
为二面角
的平面角. ??????? …………………………10分

在Rt△
中，
，

在Rt△
和Rt△
中，
，

∴Rt△
～Rt△
.????????????????????? …………………………11分

∴
.

∴
.????????? …………………………12分

在Rt△
中，
. ……………………13分

∴二面角
的正切值为
.?????????? …………………………14分

解法2：设
，连接
，

∵
，

∴△
为等边三角形.

∴
，
，
，
.………………………5分

在R t△
中，
，

在△
中，
，

∴
.????????????????????????????????? …………………………6分

∵
，
，
平面
，
平面
，

∴
平面
.???????????????????????? ? …………………………7分

以
为原点，
所在直线为轴，
所在直线为轴，
所在直线为轴，建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
.…………8分

∴
，
.

设平面
的法向量为

，

由

，

，得
……9分

令
，得
，
.

∴平面
的一个法向量为

.???? …………………………10分

由（1）知平面
的一个法向量为
， ……………………11分

设二面角
的平面角为
，

则



.………………………12分

∴
，
.………………………13分

∴二面角
的正切值为
.?????????? …………………………14分

考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间向量及坐标运算；4、同角三角函数的基本关系.

20.【考点】： 二次函数的性质；函数恒成立问题．

【专题】： 函数的性质及应用．

【分析】： （Ⅰ）根据题意可假设f（x）=a（x﹣1）2．（a＜0），令a（x﹣1）2=﹣2，x=1
，求解即可得出解析式．

（Ⅱ）利用不等式解得﹣t﹣1
≤x
，又f（x+t）≥2x在x∈[n，﹣1]时恒成立，转化为令g（t）=﹣t﹣1﹣2
，易知g（t）=﹣t﹣1﹣2
单调递减，

所以，g（t）≥g（4）=﹣9，得出n能取到的最小实数为﹣9．

解：（Ⅰ）由f（x﹣1）=f（3﹣x）可知函数f（x）的对称轴为x=1，

由f（x）的最大值为0，可假设f（x）=a（x﹣1）2．（a＜0）

令a（x﹣1）2=﹣2，x=1
，则易知2
=4，a=﹣
．

所以，f（x）=﹣
（x﹣1）2．

（Ⅱ）由f（x+t）≥2x可得，
（x﹣1+t）2≥2x，即x2+2（t+1）x+（t﹣1）2≤0，

解得﹣t﹣1
≤x
，

又f（x+t）≥2x在x∈[n，﹣1]时恒成立，

可得由（2）得0≤t≤4．

令g（t）=﹣t﹣1﹣2
，易知g（t）=﹣t﹣1﹣2
单调递减，

所以，g（t）≥g（4）=﹣9，

由于只需存在实数，故n≥﹣9，则n能取到的最小实数为﹣9．

此时，存在实数t=4，只要当x∈[n，﹣1]时，就有f（x+t）≥2x成立．

【点评】： 本题考查了函数的解析式的求解，方程组求解问题，分类讨论求解，属于中档题．

21.

22.【考点】： 椭圆的简单性质．

【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】： （Ⅰ）若k=1，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及|AB|=
，即可求实数a的值；

（Ⅱ）根据
=2
关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

（Ⅰ）由
得4x2+2x+1﹣a=0，

则x1+x2=
，x1x2=
，

则|AB|=
=
，解得a=2．

（Ⅱ）由
，得（3+k2）x2+2kx+1﹣a=0，

则x1+x2=﹣
，x1x2=
，

由
=2
得（﹣x1，1﹣y1）=2（x2，y2﹣1），

解得x1=﹣2x2，代入上式得：

x1+x2=﹣x2=﹣
，则x2=
，

=
=

，

当且仅当k2=3时取等号，此时x2=
，x1x2=﹣2x22=﹣2×
，

又x1x2=
=
，

则
=
，解得a=5．

所以，△AOB面积的最大值为
，此时椭圆的方程为3x2+y2=5．

【点评】： 本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．

23.