镇海中学2015年高考模拟试卷

数学（理科）试卷

说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

柱体的体积公式：V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.

锥体的体积公式：V=
Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.

球的表面积公式：S=4πR2 ，其中R表示球的半径.

球的体积公式：V=
πR3 ，其中R表示球的半径.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合
，
，则
（▲）

A．
B．
C．
D．

2.已知三个命题如下：

①所有的质数都是奇数; ②
x∈R,
;③有的无理数的平方还是无理数.

则这三个命题中既是全称命题又是真命题的个数是 （▲）

A．0 B．1 C．2 D．3

3.已知
，
是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是 （▲）

A．若m //
,


= n ,则m //n B．若m⊥
,n

,m ⊥n ,则
⊥

C．若
//
,m⊥
，n //
,则m⊥n D．若
⊥
，


= m ，m //n，则n //

4.已知不等式组
所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k的值为（▲）

A．－1 B．
C．
D．1

5.设
，把
的图象向左平移
个单位后，恰好得到函数
的图象，则
的值可以为。 （▲）

A．
B．
C．
D．

6.设
，
是双曲线

，
的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点
，使
（
为坐标原点），且
，则双曲线的离心率为（▲）

A．
B．
C．
D．

7.
在数列
中，若存在非零整数
，使得
对于任意的正整数
均成立，那么称数列
为周期数列，其中
叫做数列
的周期. 若数列
满足
，如
，当数
列
的周期最小时，该数列的前2015项的和是 （▲）

A．671 B．672 C．1342 D．1344

8. 设函数
，则函数
的零点个数为 （▲）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、 填空题: 本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．

9.已知函数
.当a=1时不等式
的解集是 ▲ ；若函数
的定义域为R，则实数
的取值范围是 ▲ ．

10.已知点
关于直线
的对称点为
,则圆

关于直线
对称的圆
的方程为 ▲ ;圆
与圆
的公共弦的长度为 ▲ .

11.已知某几何体的三视图如下图所示,其正视图

为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角

梯形.则该几何体的表面积是 ▲ ；体积是 ▲ .

12.已知
，则
▲ ，
▲ .

13.已知{
}是公差不为0的等差数列,{
} 是等比数列,其中
,且存在常数α、β ,使得
=
对每一个正整数
都成立,则
= ▲ .

14.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ▲ .

15.在
中，
，
. 若点
在
的角平分线上，满足
，
，且
，则
的取值范围是 ▲ .

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本题满分15分）

在锐角
中，角
的对边分别为
，已知
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的最大值.

17.（本题满分15分）

如图，弧
是半径为
的半圆，
为直径，点
为弧
的中点，点
和点
为线段
的三等分点，平面
外一点
满足
，
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）已知点
分别为线段
上的点，

使得
求当
最短时，

平面
与平面
所成二面角的正弦值.

18.（本题满分15分）

已知椭圆C:
上的点到左焦点的最大距离是
，且点
在椭圆C上，其中
为椭圆C的离心率.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)如图所示，A，B是椭圆C上的两点，且| AB | ＝
，求△AOB面积的取值范围.

19.（本题满分15分）

已知横坐标为
的点P在曲线C:
上，曲线C在点P处的切线与直线y = 4x交于点A， 与x轴交于点B.设点A， B的横坐标分别为
，记
.正数数列{
}满足

,
.

(Ⅰ)写出
之间的关系式；

(Ⅱ)若数列{
}为递减数列，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)若
,
，设数列{
}的前n项和为
，求证：
．

20.（本题满分14分）

已知
，函数

（Ⅰ）若函数
在
上单调，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若存在实数
，满足
且
，求当
变化时，
的取值范围.

数学（理科）参考答案

一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）

1．A； 2．B； 3．C； 4．B；

5．A； 6．D； 7．D； 8．
C．

二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）

9.
，
10.
,
11.

12.
，
13.4 14.2+
15.

三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（Ⅰ）

（2分）

（4分）

又
得

（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，即

为锐角三角形，
均为正数，

，当且仅当
时等号成立。（10分）

当且仅当
时等号成立。

，即
的最大值为
。（15分）

17.（1）证明：∵
为弧
的中点，
，
为直径，∴
.

∵
，∴

∵
∴
平面
∵
平面
∴

（2）解法一：如图，以
为原点，
为
轴正方向，过
作平面
的垂线，建立空间直角坐标系，

由此得
，
，
，

∵
∴
∴

当
时，
最短.此时

.

∵
∴

∴

设平面
的法向量为

则

∴

∵平面
的法向量为

∴
∴

∴平面
与平面
所成二面角的正弦值为

解法二：（确定二面角的平面角—综合方法一）

过
作
∥
.

∵
∴
∥
∴
∥

∵
平面

平面
，

∴
为平面
与平面
的交线.

∵
平面

平面
，

∴

∴
为平面
与平面
所成二面角的平面角.

是直角三角形，
.

18.(Ⅰ)解：（1）由题可知
，解得

椭圆的方程是
………………5分

(Ⅱ)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABO的面积为S．

如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为(
，
)，此时S＝
＝
；

如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y＝kx＋m，

由
得x2＋3(kx＋m) 2＝3，

即 (1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，又Δ＝36k2m2－4(1＋3k2) (3m2－3)＞0，

所以 x1＋x2＝－
，x1 x2＝
，

(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4 x1 x2＝
， ①

由 | AB |＝
及 | AB |＝
得

(x1－x2)2＝
， ②

结合①，②得m2＝(1＋3k2)－
．又原点O到直线AB的距离为
，

所以S