闵行区2014学年第一学期期末考试八校联考

高三年级 数学 学科 试卷答案（文、理科）

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分．

1. 方程
的解
.

2．不等式
的解集为
,则
的范围为 .

3．已知
，
为
的共轭复数，若
（
是虚
数单位），则

4. 若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则圆锥的母线与轴的夹角的大小为 (用反三角形式表示).

5. 已知
的二项展开式中,前三项系数成等差数列,则

6.已知将函数
的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变),再向左平移
个单位,可得到函数
的图象,则
.

7.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为________．

8.已知过点
的直线
的一个法向量为
，则
1

9. 若对任意实数
,都有
,则实数
的取值范围是

10.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形
，如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为
，则最小正方形的边长为__________．

11. 设
是抛物线
上的一点,
是抛物线上的任意两点,
分别是
的斜率,若
,则
的坐标为
.

12．（理） 求函数
的最小值

（文）求函数
的最小值

13.已知
是平面上两个互相垂直的单位向量，且
,则
的最大值为 5

14（理）.已知函数
任取
记函数
在区间
上的最大值为
最小值为
则函数
的值域为

14.（文）已知公差为
等差数列
满足
,且
是
的等比中项。记
,则对任意的正整数
均有
,则公差
的取值范围是

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分．

15.已知数列
， “
”是“
”成立的（ A ）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件

16．某学校高三年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人．为了调查学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校高三全体学生中抽取一个容量为25的样本，则应抽取女生的人数为（ D ）

(A) 20． (B) 18． (C) 15． (D) 10．

17. 函数
则函数
是（ A）

（A）奇函数但不是偶函数 （B）偶函数但不是奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数又不是偶函数

18. （理）若曲线
在顶点
的角
的内部,
、
分别是曲线
上相异的任意两点，且
，我们把满足条件的最小角
叫做曲线
相对点
的“确界角”。已知
为坐标原点，曲线
的方程为

，那么它相对点
的“确界角”等于（ B ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（文）已知
是椭圆
上任意一点,
是线段
的中点,则
有( D )

(A ) 没有最大值,也没有最小值 (B) 有最大值,没有最小值(C) 有最小值,没有最大值 (D) 有最大值和最小值

三、解答题

19、（本题满分12分，第一小题满分5分，第二小题满分7分）

已知正方体
，
，
为棱
的中点．

（1）求异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角表示）；

（2）求四面体
的体积.

解：（1）由
知,

就是异面直线
与
所成角.
（2分）

连接
，在
中，
，

所以

.

即异面直线
与
所成的角为
；
（5分）

（利用空间向量同样给分）

（2）算出
的面积

（7分）

到平面
的距离就是三棱锥的高，
.
（9分）

该四面体
的体积
.
（12分）

20、（本题满分14分，第一小题满分9分，第二小题满分5分）

如图，一个水轮的半径为
，水轮圆心
距离水面
，已知水轮每分钟转动
圈，

如果当水轮上点
从水中浮现时（图中点
）开始计算时间。

（1）将点
距离水面的高度
表示为时间
的函数，求其解析式；

（2）求点
第一次到达最高点时所需要的时间。

解：（1）如图建立直角坐标系，设角

是以
为始边，
为终边的角，
每分钟内所转过的角为
，
（3分）

得
，
（5分）

当
时，
,

得
，即
，
（8分）

故所求的函数关系式为

（9分）

（2）令
，得
，
（11分）

取
，得
，故点
第一次到达最高点大约需要
秒
（14分）

21、（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分）

已知
，
，（
，
）．函数
定义为：对每个给定的实数
，

（1）若
对所有实数
都成立，求
的取值范围；

（2）设
．当
时，若对任意
，存在
，使得
，求实数
的取值范围；

解：（1）“
对所有实数都成立”等价于“
恒成立”，
（1分）

，即
恒成立，，
（3分）

，所以
，，
（6分）

的取值范围是
．，
（7分）

（2） 当
时，

对任意
，存在
，使得

，，
（9分）

，
（10分）

，当
时，
，
（12分）

由
或
或

，
（14分）

22、（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分）

（理）如图已知椭圆
：
的左、右两个焦点分别为
、
，设
，若
为正三角形且周长为
.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）已知垂直于
轴的直线交椭圆
于不同的两点
，且
分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线
与
交于点
，求点
的轨迹方程；

（3）在
的条件下，过点
作斜率为
的直线
，设原点到直线
的距离为
，求
的取值范围.

解：（1）由题设得

（2分）

解得：
，

故
的方程为
.
（4分）

（2）证明：

　　　　①
（5分）

直线
的方程为
②
（6分）

①×②，得
③

，

代入③得
，即
，
（8分）

因为是不同的两点
两点所以

所以点
的轨迹方程为双曲线
上
（9分）

（3）设直线


（10分）

结合第（2）问的结论
，整理得：

（12分）

（14分）

且

所以
的取值范围是

（16分）

（文）如图已知椭圆
：
的左、右两个焦点分别为
、
，设
，若
为正三角形且周长为
.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）已知垂直于
轴的直线交椭圆
于不同的两点
，且
分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线
与
交于点
，求证：点
在双曲线
上；

（3）在
的条件下，过点
作斜率为
的直线
，设原点到直线
的距离为
，求
的取值范围.

解：（1）由题设得