云南师大附中2015届高考适应性月考卷（二）

文科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．由
，
，所以
，故选C.

2．由
，则
，其对应的点为
，在第一象限，故选A.

3．由
为等差数列，故而
，又
，故选D.

4．由
，则
，故而
，故选C.

5．如图1，由题意可知，该三棱锥为边长为1的正方体内以

为顶点的三棱锥，则其表面积

，故选B．

8．①错，因为分别与两平行平面平行的两直线可以是平行、相交或异面；

②错，因为两直线的位置关系可以是平行、相交或异面；

③错，因为两直线的位置关系可以是平行、相交或异面；

④对，直线、的方向向量分别是两互相垂直平面、
的法向量，故而
，所以有3个命题是假命题，故选C．

9．如图2所示，由椭圆的第一定义知，
，

又有
，故而
，
，而

，所以
，

故
为
，则
，

故选B.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号

13

14

15

16



答案





900

4



【解析】

13．由

，所以
．

14．
满足的线性区域如图3阴影部分所示，由
，

即
，则
为直线
的截距，

则当最小时，直线的截距最大，由题意结合图形可知，

直线
在经过点
时，截距取得最大，

即此时最小，故而当
，
.

15．经观察可知，由两位的“和谐数”有9个，而三位的“和谐数”相当于在两位数的中间增加至9中任意一个数，故而三位的“和谐数”有
个，而四位的“和谐数”相当于三位的“和谐数”中间的数字重复出现一次，则四位的“和谐数”有
个；同理，五位的 “和谐数”有
个，六位的“和谐数”有
个.

16．由题意可知：三棱锥
是以为顶点
为底面的正三棱锥. 如图4所示，记为底面
的中心，则正三棱锥
外接球的球心在直线
上，记其球心为，

由题意知
，
，
，
.

设球的半径为，则
，
，

有
，即
，

解得
，所以球的半径为.

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，

总人数
人. ……………………………………………………（2分）

（Ⅱ）由题意知，分层抽样年龄在第1、2、3组中抽取的人数之比为：

，

由于一共抽取6人，故而年龄在第1、2、3组的人数分别是1人、1人与4人. ……（5分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）可设年龄在第1组的1人为，年龄在第2组的1人为，年龄在第3组的4人为
、
、
、
，则从这6人中抽取2人的所有可能结果为：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共有15种.

其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：

，
，
，
，
，
，
，
，共8种.

所以恰有1人年龄在第3组的概率为
. …………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：当
时，点为
的中点，

如图5，取
的中点，连接
、
，

则
且
，

又由题意知，
且
，

所以
且
，故而四边形
为平行四边形，

所以
，又由
平面
且
平面
，

所以
． ………………………………………（6分）

（Ⅱ）解：如图6，取
的中点，连接
，由
，

则

，且
，

又侧面
底面ABCD且平面
平面
，

所以
平面
，所以
，

由题意知，
，所以
，

由
，则
，

三棱锥
的体积为
. ………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点
，故可设椭圆的方程为
，

解方程组
解得
，
，

由抛物线与椭圆的对称性，可得：
，所以
，即
.

因此
，解得
，故而
，

所以椭圆E的方程为
. ……………………………………………………（4分）

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设其为.

①当
时，
，所以
；

②当
时，则直线的方程为
，

联立
消去并整理得：
，

由Δ
，得
，

设
，
，
，则
．

因为
，所以
，

所以
，

．

因为点在椭圆上，所以
，

解得
，

由于
，故而
，所以
，

综合①②可知，
. ……………………………………………………（12分）

（Ⅱ）证明：由题意知， 要证
，

即要证
．

令
，则只需要证明
，由
，即等价证明：
．

①设
，则
，故而
在
上单调递增，而当
时，
，即
；

②设
，则
，故而
在
上单调递增，而当
时，
，即
.

综上①②知，
成立，即
. …………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4?1：几何证明选讲】

证明：（Ⅰ）如图7，连接DG，AB，

∵AD为⊙
的直径，

∴
，

在⊙O中，
，

∴AC为⊙O的直径. …………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）∵
，∴
，

∵点G为弧BD的中点，∴
，

在⊙O中，
，∴
，

∴
. …………………………………………………………（10分）

（Ⅱ）由题意可知直线l的标准参数方程为
（为参数），

代入
得到
，

则有
，

由
，即
或
.

因为
，所以
，

解得
或
（舍），

所以
. ………………………………………………………………（10分）