2015届浙江省重点中学协作体高考摸底测试

数学（理科）试题

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页．满分150分，考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

选择题部分（共50分）

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上．

参考公式：

球的表面积公式 棱柱的体积公式

球的体积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高

棱台的体积公式

其中R表示球的半径

棱锥的体积公式 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，

h表示棱台的高

其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 如果事件
互斥，那么

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
，集合
，则

（ ▲ ）。

A．{0} B．{1} C．{0，1} D．φ

2．若
是偶函数，则p是q的（ ▲ ）。

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半

径是的圆，则这个几何体的表面积是（ ▲ ）。

A．
B．
C．
D．

4．
，
，
，则与的

大小关系为（ ▲ ）。

A．
B．
C．
D．不确定

5．二项式
的展开式中常数项为（ ▲ ）。

A．-15 B．15 C．-20 D．20

6．若函数
在
上的导函数为
，且不等式
恒成立，又常数
满足
，则下列不等式一定成立的是（ ▲ ）。

A．
B．

C．
D．
.

7．函数
的图象向左平移
个单位后关于原点对称，则函数
在
上的最小值为（ ▲ ）。

A．
B．
C．
D．

8．将1﹑2﹑3﹑4四个数字随机填入右方
的方格中﹐每个方格中

恰填一数字﹐但数字可重复使用﹒试问事件「方格的数字大于

方格的数字﹑且
方格的数字大于方格的数字」的机率为

（ ▲ ）。

A．
B．
C．
D．

9．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点
为中心﹐其中
﹐
分别为原点
到两个顶点的向量﹒若将原点
到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为
的形式﹐则
的最大值为（ ▲ ）。

A．2 B．3 C．4 D．5

10．设
为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕

1



1





3



1





3







 关于
的极小值﹐试问下列（ ▲ ）选项是正确的﹖

A．
B．
C．
D．不存在

非选择题部分（共100分）

注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．

2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用

黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用
表示，椐统计，随机变量
的概率分布如下图，则
的数学期望为 ▲ 。

0

1

2

3

















12．如右图，如果执行右面的程序框图，输入正整数
，满足
，那么输出的等于 ▲ 。

13．已知、满足约束条件
，若目标函数

的最大值为7,则
的最

小值为 ▲ 。

14．设
是各项均为非零实数的等差数列
的前项和，

且满足条件
，则
的最大值为 ▲ 。

15．已知椭圆C：
的左右焦点分别为
，点P为椭圆C上的任意一

点，若以
三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心

率的取值范围是 ▲ 。

16．把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少

一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为： ▲ 。

（用数字作答）

17．已知

在
上是增函数}，
方程
有

实数解}，设
，且定义在R上的奇函数
在内没有最小值，

则的取值范围是 ▲ 。

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）在
中，三个内角分别为
，且
．

（1）若
,
,求
．

（2）若
，且
，求
．

19．（本小题满分14分）已知数列
的前项和为
，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，
＝
，记数列
的前项和
.若对
，

恒成立，求实数
的取值范围．

20．（本小题满分15分）如图，在直三棱柱
中，

,
,
,点是
的中点

（1）求异面直线
与
所成角的余弦值

（2）求平面
与
所成二面角的正弦值。

21．（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，给定三点
，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。

（1）求点P的轨迹方程；

（2）若直线L经过
的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求

L的斜率k的取值范围。

22．（本小题满分14分）设函数
.

（1）若函数
在
处有极值，求函数
的最大值；

（2）①是否存在实数
，使得关于的不等式
在
上恒成立？若存在，

求出
的取值范围；若不存在，说明理由；

②证明：不等式
.

2015届浙江省重点中学协作体高考摸底测试

数学（理科）答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

A

C

B

A

A

B

D

C



二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11． 1.7 12．
13．7 14．
15．
16．96 17．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）

解：因为
，得
，

即
，因为
，且
，

所以
，所以
。

（1）因为
，
，
，所以

又
，

由正弦定理知：
，即
。

（2）因为
，所以
，

，所以
，

所以
.

19．（本小题满分14分）

解： （1）当
时，
，当
时，

即：
，数列
为以2为公比的等比数列

（2）由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，则cn＝
＝
＝
－
，

Tn＝1－
＋
－
＋…＋
－
＝1－
＝
.

∵
≤k(n＋4)，∴k≥
＝
.

∵n＋
＋5≥2
＋5＝9，当且仅当n＝
，即n＝2时等号成立，

∴
≤
，因此k≥
，故实数k的取值范围为

20．（本小题满分15分）

解：（1）以
为为单位正交基底建立空间直角坐标系
，

则

，
,
,
,

∴
,

∴

∴异面直线
与
所成角的余弦值为

（2）
是平面
的的一个法向量

设平面
的法向量为
，∵
,

由
∴
取
，得
，

∴平面
的法向量为
,设平面
与
所成二面角为

∴
， 得

∴平面
与
所成二面角的正弦值为

21．（本小题满分15分）

解：（1）直线AB、AC、BC的方程依次为
。点
到AB、AC、BC的距离依次为
。依设，
，即
，化简得点P的轨迹方程为圆S：

（2）由前知，点P的轨迹包含两部分

圆S：
①

与双曲线T：
②

因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。

的内心D也是适合题设条件的点，由
，解得
，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为

③

（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线
平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分

（ii）当
时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：

情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率
，直线L的方程为
。代入方程②得
，解得
。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。

故当
时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。

情况2：直线L不经过点B和C（即
），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组
有且只有一组实数解，消去y并化简得

该方程有唯一实数解的充要条件是
④

或
⑤

解方程④得
，解方程⑤得
。

综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集
。

22．（本小题满分14分）

（1）由已知得：
，且函数
在
处有极值

∴
，即
∴

∴

当