河南省北大附中河南分校2014届高三最后一次冲刺（猜题卷）理科数学试题

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分 共60分

1．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（　　）

A．

0

B．

6

C．

12

D．

18



2已知复数z＝(cosθ＋i)(2sinθ－i)是纯虚数，θ∈[0,2π)，则θ＝ ( )

B.
C.
D.

3．已知集合
，
,若“
”是“
”的充分非必要条件，则的取值范围是（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

4．下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是( )．

A 3 B 4 C 5 D 6

5一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（ ）

A．
B．

C．
D．

6在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝(　　)． A. B．－ C．± D.

7从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号，2号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有（ ） A180 B220 C240 D260

8已知函数
的图象在点
处的切线与直线
平行，若数列
的前n项和为
，则
的值为（ ）

A、
B、
C、
D、

9设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面αβ，截球O的两个截面圆的半径分别为1和
，二面角α-l-β的平面角为
，则球O的表面积为（ ）

A
B
C
D

10．在集合
中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量
，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为，在区间[1，
]和[2，4]分别各取一个数，记为m和n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是 （ ）

A．
B.
C.
D. 

11已知
是
内一点,且
若
、
、
的面积分别为
、
, 则
的最小值是（ ）

A．9 B. 16 C. 18 D. 20

12已知函数
函数
，若存在
，使得
成立，则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数

据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可

知体重的平均值为　　　　　kg；若要从身高在

[ 60 , 70），[70 ，80) , [80 , 90]三组内的男

生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，

再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为 ．

（2个数据错一个不得分）

14设
,则二项式
展开式中的第4项为 _______.

15已知函数
为R上的奇函数，
的导数为
，且当
时，不等式
成立，若
对一切
恒成立，则实数的取值范围是 。

16.已知下列命题：

①函数
的单调增区间是
.

②要得到函数
的图象，需把函数
的图象上所有点向左平行移动
个单位长度.

③已知函数
，当
时，函数
的最小值为
．

④
在[0,1]上至少出现了100次最小值，则
.

其中正确命题的序号是_

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

数列
各项均为正数，其前项和为
，且满足
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
， 求数列
的前n项和
，并求使
对所有的
都成立的最大正整数m的值

18（本小题满分12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．

(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|.求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．

19．（本小题满分12分）如图甲正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，先将△ABC沿CD折叠成直二面角A-DC-B（如图乙），在乙图中

（Ⅰ）求二面角E-DF-C的余弦值；

（Ⅱ）在线段BC上找一点P，使AP⊥DE，并求BP.

（Ⅲ）求三棱锥D-ABC外接球的表面积.(只需用数字回答,可不写过程)

20．（本小题满分12分）

．如图9-13，P是抛物线C：y=
x2上—点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．

(1)若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点 M的轨迹方程；

(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求
的取值范围．

21（本小题满分12分）

．已知函数
是定义在
上的奇函数,当
时,
(其中e是自然界对数的底,
)

（Ⅰ） 求
的解析式;

（Ⅱ）设
求证：当
，
时，
；

（Ⅲ）是否存在负数，使得当
时，
的最小值是3 ？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

22.如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．

(1) 求证：
；

（2）若⊙O的半径为
，
，求MN的长．

23已知椭圆C的极坐标方程为
，点F1、F2为其左，右焦点，直线的参数方程为
(t为参数，t∈R)．

（Ⅰ）求直线和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）求点F1、F2到直线的距离之和.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若不等式
对任意实数恒成立，求的取值范围．

(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故

P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3＋C4＝.

19(1)∵AD⊥CD,BD⊥CD,∴∠ADB是二面角A-CD-B的平角

∴ AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD,取CD的中点M,这时EM∥AD,∴EM⊥平面BCD

过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E-DF-N的平面角

在 Rt△EMN中,EM=
AD=
AB=1,MN=
∴EN=
,cos∠MNE=

∵M为PQ的中点，

∵y1、y2可取一切不相等的正数，

∴
的取值范围是(2，+∞)．

方法二：∴

当b>0时，
=|b|
+2>2；

当b<0时,
=-b

又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2= 4k2(k2+2b)>0．

于是k2+2b>0，即k2>-2b．

所以

可取一切不等于l的正数，
的取值范围是(2，+∞)．

21（Ⅰ）设
，则
，所以

又因为
是定义在
上的奇函数，所以

故函数
的解析式为

（Ⅱ）证明：当
且
时，
，设
因为
，所以当
时，
，此时
单调递减；当
时，
，此时
单调递增，所以
又因为
，所以当
时，
，此时
单调递减，所以

所以当
时，
即

（Ⅲ）解：假设存在负数，使得当
时，
有最小值是3，则

①当
，由于
，则
，故函数
是
上的增函数．所以
，解得
（舍去）

②当
时，则当
时，
，此时函数
是减函数；当
时，
，此时函数
是增函数．

所以
，解得
满足题意。

综上可知，存在负数
，使得当
时，
有最小值３

22（1）连接ON，因为PN切⊙O于N，所以
，

所以
，因为OB=ON，所以

因为
于，所以

故
，

所以
.

（2）

因为
，所以
.

23(Ⅰ) 直线普通方程为
；

曲线的普通方程为
．

(Ⅱ) ∵
,
，

∴点
到直线
的距离

点
到直线
的距离
∴

24解：（Ⅰ）当
时，
即
，

当
时，得
，即
，所以
；

当
时，得
成立，所以
；当
时，得
，即
，所以
.故不等式
的解集为
.（Ⅱ）
，由题意得
，则
或
，解得
或
,故的取值范