徐州市2014届高考信息卷

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．

1．设集合
，
，则
▲ ．

2．复数
（
为虚数单位）在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限．

3．函数
的定义域为 ▲ ．

4．甲、乙两个学习小组各有10名学生，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是 ▲ 组．

5．已知某算法的伪代码如图所示，则可算得
的值为 ▲ ．

6．一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的

概率是 ▲ ．

7．已知正三棱柱
的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从
点沿表面经过棱
，
爬到点
，蚂蚁乙从
点沿表面经过棱
爬到点
．如图，设
，
，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则
▲ ．

8．已知函数
，则不等式
的解集是 ▲ ．

9．若过点
的直线与圆
相切，且与直线
垂直，则实数
的值为 ▲ ．

10．已知函数
（
，
，
是常数，

，
）的部分图象如图所示．

若
，
，则
▲ ．

11．设数列
的前
项和为
，若
和
都是

公差为
的等差数列，则
▲ ．

12．已知平面向量
，
，
满足
，
，
，

，则
的最小值为 ▲ ．

13．已知
，

是函数
图象上的两个不同点，

且在
，
两点处的切线互相平行，则
的取值范围为 ▲ ．

14．设等差数列
的公差为
，前
项和为
，且
，
，
，

则
的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分14分）

在△
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，向量
，
，且
．

（1）求角
；

（2）若
，求
的面积的最大值．

16．（本小题满分14分）

如图，在梯形
中，
，
，
．平面
平面
，四边形
是矩形，
，点
在线段
上．

（1）求证：
平面
；

（2）当
为何值时，
平面
？证明你的结论．

17．（本小题满分14分）

第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心
、
之间的距离为
米．

（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点
，
，
，
均在圆弧上，
于点
．设
，求矩形的宽
为多少时，可使喷泉
的面积最大；

（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中
，
米．若
，求喷泉的面积的取值范围．

18．（本小题满分16分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过
作直线
与椭圆
交于点
、
．

（1）若椭圆
的离心率为
，右准线的方程为
，
为椭圆
上顶点，直线
交右准线于点
，求
的值；

（2）当
时，设
为椭圆
上第一象限内的点，直线
交
轴于点
，
，证明：点
在定直线上．

19．（本小题满分16分）

在数列
，
中，已知
，
，且
，
，
成等差数列，
，
，
也成等差数列．

（1）求证：
是等比数列；

（2）设
是不超过100的正整数，求使
成立的所有数对
．

20．（本小题满分16分）

已知函数
，
，
．

（1）当
，
时，求函数
的单调区间；

（2）当
时，若
对
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）设函数
的图象在点
、
两处的切线分别为
、
．若
，
，且
，求实数
的最小值．

徐州市2014届高考信息卷

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题纸指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

在
中，
，
是
的平分线，
的外接圆交
边于点
．求证：
．

B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知矩阵
的一个特征值
及对应的一个特征向量
．

（1）求
的值；

（2）求曲线
在
对应的变换作用下的新曲线的方程．

C．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
．若直线
与曲线
交于
、
两点，试求线段
的垂直平分线的极坐标方程．

D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知
均为正数，且
，求
的最小值，并指出取得最小值时
的值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22．（本小题满分10分）

徐州古称彭城，三面环山，历来是兵家必争之地，拥有云龙山、户部山、子房山和九里山等四大名山．一位游客来徐州游览，已知该游客游览云龙山的概率为
，游览户部山、子房山和九里山的概率都是
，且该游客是否游览这四座山相互独立．

（1）求该游客至多游览一座山的概率；

（2）用随机变量
表示该游客游览的山数，求
的概率分布和数学期望
．

23.（本小题满分10分）

已知数列
的各项均为正整数，且
，
，
，
，
．

（1）求
，
的值；

（2）求证：对一切正整数
，
是完全平方数．

徐州市2014届高考信息卷

数学Ⅰ参考答案与评分标准

一、填空题

1．
2．二 3．
4．甲 5．
6．

7．
8．
9．
10．
11．

12．
13．
14．

二、解答题

15．（1）因为
，所以
，

所以
，即
， ………………………………4分

所以
，

又
，所以
． ………………………………7分

（2）在
中，由余弦定理有，
，

所以
，

由基本不等式，
，可得
，当且仅当
时，取等，…12分

所以
的面积
，

故
的面积的最大值为
． ………………………………14分

16．（1）由题意知，
为等腰梯形，且
，
，

所以
，

又平面
平面
，平面
平面
，

所以
平面
． …………………6分

（2）当
，
平面
． …………………8分

在梯形
中，设
，连结
，则
，

因为
，
，

所以
，又
，

所以四边形
为平行四边形，…………11分

所以
，

又
平面
，
平面
，

所以
平面
． …………………14分

17．（1）在直角
中，
，
，则
，

所以矩形
的面积
，………4分

令
，
，

则
，

令
，得
．设
，且
，列表如下：