2014年高中三年级模拟考试

理科数学参考答案及评分标准

一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)



答案

B

D

A

D

C

D

B

D

C

D

A

A



二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)
(14) (1,
(15) ①③⑤ (16)

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

(1)证明：acos2＋ccos2＝a·＋c·＝b，

即a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b.-------------------------------------------------2分

由正弦定理得：

sin A＋sin Acos C＋sin C＋cos Asin C＝3sin B，

即sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B，

∴sin A＋sin C＝2sin B. -----------------------------------------------4分

由正弦定理得，a＋c＝2b，

故a，b，c成等差数列． -----------------------------------------------6分

(2)由∠B＝60°，b＝4及余弦定理得：

42＝a2＋c2－2accos 60°，

∴(a＋c)2－3ac＝16，---------------------------------------------------------------------8分

又由(1)知a＋c＝2b，

代入上式得4b2－3ac＝16，

解得ac＝16，-----------------------------------------------------------------------10分

∴△ABC的面积S＝acsin B＝acsin 60°＝4.-----------------------------12分

（18）（本小题满分12分）

解：（I）
，
为
的中点，
，

又底面
为菱形，
，

,------------------------------------------------2分

又

平面
，

又
平面
,

平面
平面
;-----------------------------6分

（II）平面
平面
,平面
平面
,

平面
.

以
为坐标原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系如图.

则
,设
(
),

所以
，平面
的一个法向量是
，

设平面
的一个法向量为

，所以

取

，-----------------------------------------9分

由二面角
大小为
，可得：

，解得
，此时
--------------------------------12分

（19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A

由
，得
，频数为39， ……3分

……………………….4分

（Ⅱ）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染

重度污染

合计



供暖季

22

8

30



非供暖季

63

7

70



合计

85

15

100



……………………….8分

K2的观测值
……………….10分

所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12分

（20）（本小题满分12分）

(1)证明：由题意可知A(2,1)，B(－2,1)．

设P(x0，y0)，则＋y＝1.

由＝m＋n，得-------------------------------2分

所以＋(m＋n)2＝1，

即m2＋n2＝.

故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上．---------------------------------5分

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝－.

平方得xx＝16yy＝(4－x)(4－x)，即x＋x＝4. ---------------7分

因为直线MN的方程为(x2－x1)x－(y2－y1)y＋x1y2－x2y1＝0，

所以O到直线MN的距离为d＝，---------9分

所以△OMN的面积S＝MN·d＝|x1y2－x2y1|

＝ 

＝ 

＝＝1.

故△OMN的面积为定值1. --------------------------------12分

(21)（本小题满分12分）

解：（I）由于函数f（x）＝
，g（x）＝elnx，

因此，F（x）＝f（x）－g（x）＝
－elnx，

则
＝
＝
，

当0＜x＜
时，
＜0，所以F（x）在（0，
）上是减函数；

当x＞
时，
＞0，所以F（x）在（
，＋）上是增函数；

因此，函数F（x）的单调减区间是（0，
），单调增区间是（
，＋）……………4分

（II）由（I）可知，当x＝
时，F（x）取得最小值F（
）＝0，

则f（x）与g（x）的图象在x＝
处有公共点（
，
）

假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（
，
）……………………….6分

故设其方程为：
，即
，

由f（x）≥
对x∈R恒成立， 则
对x∈R恒成立，

所以，
≤0成立，

因此k＝
，“分界线“的方程为：
…………………………………..10分

下面证明g（x）≤
对x∈（0，＋∞）恒成立，

设G（x）＝
，则
，

所以当0＜x＜
时，
，当x＞
时，
＜0，

当x＝
时，G（x）取得最大值0，则g（x）≤
对x∈（0，＋∞）恒成立，

故所求“分界线“的方程为：
………………………………………..12分

（22）（本小题满分10分）

（Ⅰ）连接
，则
，
，

所以
，所以
，所以
四点共圆.

………………………………..5分

（Ⅱ）因为
，则
，又为
三等分，所以
，
，

又因为
，所以
，
…………………….10分

（23） （本小题满分10分）

（I）直线
的普通方程为：
；

曲线的直角坐标方程为
---------------------------4分

（II）设点

，则

所以
的取值范围是
.--------------------------10分

（24.）（本小题满分10分）

（I）不等式的解集是
------------------------------5分

（II）要证
，只需证
，只需证

而
，从而原不等式成立.----------------------------------------10分