2014年呼和浩特市高三年级质量普查调研考试

【注】其他方法比照上述方法酌情给分.

18.证明：（Ⅰ）连接BD，依题BD=2，在正三角形BDC中，

∵BE=EC，∴DE⊥BC，又AD//BC，∴DE⊥AD.……………2分

又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DE，AD
PD=D，

∴DE⊥平面PAD，又DE平面DEF，

∴平面DEF⊥平面PAD. ……………4分

（II）结合（Ⅰ），建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

易知平面PDE的一个法向量为
， ……………6分

同时A（2,0,0），B（1,
,0），P（0,0,2），则
（2,0,-2），

（1,
, -2），设平面PAB的法向量
，

则
，于是
，即
，

取
得
， ……………9分

∴
， ……………11分

从而平面PDE若与平面PAB所成二面角的正弦值
. ……………12分

【注】其他方法比照上述方法酌情给分.























………………8分

∴
………………………………………………….10分

又
，所以
.

由于
，因此点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，同时该椭圆的长半轴
，

焦距
，于是曲线
的方程为
； ……………………… 5分

（Ⅱ）设直线
的方程为
，联立
，

则
，∴△
面积的最大值为3. ………… 12分

【注】其他方法比照上述方法酌情给分.

21.解：（Ⅰ）依题，
， ………………1分

∵
，∴
，∴当
即
时，
恒成立，于是
；………………2分

当
即
时，由
，得
（舍）
，

时，
，
；
时，
，
；……4分

综上，当
时，
的单增区间为
，无单减区间；

当
时，
的单增区间为
，单减区间
. …………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

时，

又∵
对
恒成立，

即
恒成立. ……………7分

∴
. 又∵
，∴
，∴
.

设
，则

∴
在
上单调递减， ……………10分

22.（Ⅰ）证明：连接
，
，

∵
与圆
相切于点，∴
， ………2分

又
是
的中点，∴
，

于是
， ………4分

∴
四点共圆； ………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）
四点共圆得
，

………8分

同时
，∴
， 于是
=
. ………10分

23.解（Ⅰ）依题，把直线
的参数方程化为普通方程为
， …………………1分

把圆的极坐标方程化为直角坐标方程为
，即
，…………………3分

则点
到直线
的距离

，于是所求的弦长为
； …………5分

（Ⅱ）记所作的弦为
，设
，弦
的中点

，则
，………8分

法二：（Ⅰ）由题设知
…………………………………….3分

所以直线被圆
截得的弦长为：4
；……………………..5分

（Ⅱ）设弦的中点为（

则
………………………………………………………………...10分

【注】其他方法比照上述方法酌情给分