上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）

数 学 试 卷（文科）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题时客观题用2B铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写．

2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．

3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．

一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格

内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．
．

2．关于方程
的解为 ．

3．已知全集
，集合
，则
= ．

4．设
，向量
，
，且
，则
．

5．在
中，若
，
，
，则
．

6．若点
位于曲线
与
所围成的封闭区域内(包

括边界), 则
的最小值为 ．

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

8．复数
(
，且
)，若
是实数，

则有序实数对
可以是 ．（写出一对即可）

9．已知关于
的不等式
的解集

为
，则实数
的取值范围 ．

10．将函数
的图像向右平移
个单位长

度后，所得的图像与原图像重合，则
的最小值等于 ．

11．已知不等式
对任意正实数
恒成立，则正实数
的最小值为 ．

12．有标号分别为1、2、3的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是 ．

13．已知数列
，对任意的
，当
时，
；当
时，
，那么该数列中的第10个2是该数列的第 项．

14．对于函数
，有下列4个命题：

①任取
，都有
恒成立；

②

，对于一切
恒成立；

③函数
有3个零点；

④对任意
，不等式
恒成立．

则其中所有真命题的序号是 ．

二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．下列命题中，错误的是（ ）．

（A）过平面
外一点可以作无数条直线与平面
平行

（B）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行

（C）若直线
垂直平面
内的两条相交直线，则直线
必垂直平面

（D）垂直于同一个平面的两条直线平行

16．已知集合
，
,若“
”是“
”的充分非必要条件，则
的取值范围是（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

17．若曲线
上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．

（A）
（B）

（C）
（D）

18．已知等差数列
的前
项和为
，向量
，
，

，且
，则用
表

示
（ ）．

（A）
????? （B）
?????? （C）
???? （D）

三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）

如图，在体积为
的正三棱锥
中，
长为
，
为棱
的中点，求异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．

如图，点A、B是单位圆
上的两点，点C是圆
与
轴的正半轴的交点，将锐角
的终边
按逆时针方向旋转
到
.

（1）若点A的坐标为
，求
的值；

（2）用
表示
，并求
的取值范围.

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分．

为了寻找马航
残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口
出发，沿北偏东
角的射线
方向航行，而在港口北偏东
角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛
，
海里，且

.现指挥部需要紧急征调位于港口
正东
海里的
处的补给船，速往小岛
装上补给物资后，继续沿
方向全速追赶科考船，并在
处相遇给科考船补给物资．经测算当两船运行的航线与海岸线
围成的三角形
的面积
最小时，这种补给方案最优.

（1）求
关于
的函数关系式
；

（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各6分．

设椭圆
的中心和抛物线
的顶点均为原点
，
、
的焦点均在
轴上，过
的焦点F作直线
，与
交于A、B两点，在
、
上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

（1）求
，
的标准方程；

（2）设
是
准线上一点，直线
的斜率为
，
的斜率依次为
，请探究：
与
的关系；

（3）若
与
交于C、D两点，
为
的左焦点，问
是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．

已知曲线
的方程为
，过原点作斜率为
的直线和曲线
相交，另一个交点记为
，过
作斜率为
的直线与曲线
相交，另一个交点记为
，过
作斜率为
的直线与曲线
相交，另一个交点记为
，……，如此下去，一般地，过点
作斜率为
的直线与曲线
相交，另一个交点记为
，设点
（
）．

（1）指出
，并求
与
的关系式（
）；

（2）求
（
）的通项公式，并指出点列
，
，…，
，… 向哪一点无限接近？说明理由；

（3）令
，数列
的前
项和为
，试比较
与
的大小，并证明你的结论．

数学试卷（文科）参考答案与评分标准

一. 填空题1．
； 2．2； 3．
； 4．
； 5．
； 6． (文) -5； 7．（文）
； 8．
或满足
的任意一对非零实数对； 9．（文）
； 10． (文) 6； 11．4； 12． (文)
； 13．39366（
） 14．（文）①③④．

二. 选择题 15． B； 16． A； 17．C； 18． C

三.解答题19. 解：（1）过点
作
平面
，垂足为
，则
为
的中心，由
得
（理1分文2分）

又在正三角形
中得
，所以

……………………………（理2分文4分）

取
中点
，连结
、
，故
∥
，

所以
就是异面直线
与
所成的角．（理4分文6分）

在△
中，
，
，…………………（理5分文8分）

所以
．…………………（理6分文10分）

所以，异面直线
与
所成的角的大小为
．……（理7分文12分）

（2）由
可得正三棱锥
的侧面积为

…………………（理10分）

所以正三棱锥
的表面积为

． …………………………（理12分）

20.解：（1）由已知，
………（2分）

………（4分）

=
.………………………………………………（6分）

（2）
……………………（8分）

………………………（10分）

，
，
……（12分）

……………………（14分）

21.（1）以O点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系，…（1分）

则直线OZ的方程为
，设点A（x0，y0），则
，
，即A（900，600）， …………………（3分）

又B（m，0），则直线AB的方程为：
，…………（4分）

由此得到C点坐标为：
，…（6分）

…（8分）

（2）由（1）知
…（10分）

………（12分）

所以当
，即
时，
最小，

（或令
，则

，当且仅当
时，
最小）

∴征调
海里处的船只时，补给方案最优. …………………（14分）

22．解：（1）
在椭圆上，
在抛物线上，

：
…………………（4分）

（2）（文）
是抛物线的焦点，①当直线
的斜率存在时，

设
：
,
，

联立方程
，得
，
时
恒成立

，
， ………………（6分）

因
准线为
，设
，
，
，

与
的关系是
. .……………………………（8分）

②当直线
的斜率不存在时，
：
，得

，
，
，仍然有
………（10分）

（3）(文)

=
.

是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，①当直线
的斜率存在时，

设
：
,
，

联立方程
,得
，
时
恒成立.

（也可用焦半径公式得：
）………………（11分）

联立方程
，得
，
恒成立.

, ……（12分）

=
. ………………（14分）

②当直线
的斜率不存在时，
：
，

此时，
，
，
=
.……………………………（15分）

所以，
的最小值为
. ……………………………（16分）

23. 解：（1）
． …………………………………………………………（1分）

设
，
，由题意得
． …………（2分）

…………………（4分）

（2）分别用
、
代换上式中的n得

(
) ………………（6分）

又
，
， …………………（8分）

因
，所以点列
，
，…，
，…向点
无限接近（10分）

（3）（文）
，
． ………（12分）

，只要比较
．………（13分）
…（15分）

当n=1时，
…………………（16分）

当n=2时，
…………………（17分）

当n>2时，
． …………………（18分）